若选择导体圆柱表面为电位参考点，即?(a,?)?0，则C?0。 导体圆柱外的电场则为
22??1??aaE????(r,?)??er?e???er(1?)E0cos??e?(?1?)E0sin??rr??r2r2
导体圆柱表面的电荷面密度为
????0??(r,?)E0co?sr?a?2?0?r
4.9 在介电常数为?的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场解 在电场电场
E0?exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。
E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加
E0与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为?0(r,?)??E0x??E0rcos?而感应电
荷的电位
?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，则空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和
?2(r,?)的边界条件为
①
r??时，?2(r,?)??E0rcos?；
?(r,?)为有限值；
② r?0时，1r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，
?0??1????2?r?r
③
由条件①和②，可设
?1(r,?)??E0rcos??Ar1cos? (r?a) ?2(r,?)??E0rcos??A2r?1cos? (r?a)
?1?2Aa?Aa??E??A???E??aA2 2010带入条件③，有 1，00A1??由此解得
???0???02E0A2??aE0???0， ???0
2?Ercos????00(r?a)
?1(r,?)??所以
?2(r,?)??[1????0a2()]E0rcos????0r (r?a)
4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10图所示。
第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象
y 限分别保持电位
U0和?U0。求圆柱面内部的电位函数。
0 b o U0 0 解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为
x
① ?(0,?)为有限值；
?U0
题4.10图
②
由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为
?U0?0??(b,?)????U0??00????2?2????????3?23?2???2?；
?(r,?)??rn(Ansinn??Bncosn?)n?1? (r?b)
代入条件②，有 由此得到
?b(Ann?1?nsin??Bncno?s??)b?(,)
1An?nb?2???(b,?)sinn?d??01b?n?23?2[?U0sinn?d??0??U0sinn?d?]?U0(1?cosn?)?bnn??2U0,n?1,3,5,?n?n?b??0，n?2,4,6,
1Bn?nb?2???(b,?)cosn?d??b?[?Un01?203?2cosn?d??0U??0cosn?d?]?
n?3?2U0,?(?1)2nn?b?U0n?3n?(sin?sin)??0，?bnn?22n?1,3,5,n?2,4,6,
?(r,?)?故
2U0?n?1,3,5,??n?31rn()[sinn??(?1)2cosn?]nb (r?b)
4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?，在距离轴线有一与圆柱平行的线电荷解 在线电荷
r0(r0?a)处，
ql，计算空间各部分的电位。
ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位
?l(r,?)与极化电荷的电位?p(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??p(r,?)。线电荷ql的电位
?l(r,?)??为
y ql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos? （1）
而极化电荷的电位
?p(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。
a ? o ?0 ql介质圆柱内外的电位
?1(r,?)和?2(r,?)满足的边界条件为分别为
r0 x
① ②
?1(0?,为有限值；)
题4.11图
?2(r,?)??(,?)r?(? )lr?1??2,???1????02?r?r
③ r?a时，
由条件①和②可知，
?1(r,?)和?2(r,?)的通解为
??1(r,?)??l(r,?)??Anrncosn?n?1? (0?r?a) （2）
?2(r,?)??l(r,?)??Bnr?ncosn?n?1 (a?r??) （3）
将式（1）～（3）带入条件③，可得到
?Aann?1?ncosn???Bna?ncosn?n?1? （4）
?(An?nan?1?Bn?0na?n?1)cosn??(???0)n?1?ql?lnR2??0?r?r?a （5）
n当
r?r0时，将lnR展开为级数，有
lnR?lnr0??1r(n?1nr0)cn?os （6）
带入式（5），得
?(An?nan?1?n?1?Bn?0na?n?1(???0)ql)cosn???2??0r0an?1()cosn??rn?10 （7）
?n?nAa?Bann由式（4）和（7），有
An?nan?1?Bn?0na?n?1??(???0)qlan?1()2??0r0r0
ql(???0)1ql(???0)a2nAn??Bn??nn2??(???)nr2??(???)nr000000由此解得 ，
故得到圆柱内、外的电位分别为
ql(???0)?1rn?1(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn?2??02??0(???0)n?1nr0 （8）
ql220ql(???0)?1a2n?2(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn?2??02??0(???0)n?1nr0r （9）
ql220讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为
ql(???0)?1rnql(???0)?()cosn??(lnR?lnr0)?2??0(???0)n?1nr02??0(???0) ql(???0)?1a2nql(???0)?()cosn??(lnR??lnr)?2??0(???0)n?1nr0r2??0(???0)
其中
R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将
?1(r,?)和?2(r,?)分别写成为
?1(r,?)??2?0qlq(???0)lnR?llnr02??0???02??0(???0) 1ql2??0lnR?1?(???0)ql1(???0)qllnR??lnr2??0???02??0???0
?2(r,?)??2?0qlr,???0 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（00）的线电荷的电位相同，而介质圆
a2
(,0)
r,qr柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（00）的线电荷l；位于0的
???0???0qlql??????00线电荷；位于r?0的线电荷。
?