电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答 下载本文

若选择导体圆柱表面为电位参考点,即?(a,?)?0,则C?0。 导体圆柱外的电场则为

22??1??aaE????(r,?)??er?e???er(1?)E0cos??e?(?1?)E0sin??rr??r2r2

导体圆柱表面的电荷面密度为

????0??(r,?)E0co?sr?a?2?0?r

4.9 在介电常数为?的无限大的介质中,沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场解 在电场电场

E0?exE0,求空腔内和空腔外的电位函数。

E0的作用下,介质产生极化,空腔表面形成极化电荷,空腔内、外的电场E为外加

E0与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为?0(r,?)??E0x??E0rcos?而感应电

荷的电位

?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化,则空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和

?2(r,?)的边界条件为

r??时,?2(r,?)??E0rcos?;

?(r,?)为有限值;

② r?0时,1r?a时, ?1(a,?)??2(a,?),

?0??1????2?r?r

由条件①和②,可设

?1(r,?)??E0rcos??Ar1cos? (r?a) ?2(r,?)??E0rcos??A2r?1cos? (r?a)

?1?2Aa?Aa??E??A???E??aA2 2010带入条件③,有 1,00A1??由此解得

???0???02E0A2??aE0???0, ???0

2?Ercos????00(r?a)

?1(r,?)??所以

?2(r,?)??[1????0a2()]E0rcos????0r (r?a)

4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面,如题4.10图所示。

第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地,第一象限和第三象

y 限分别保持电位

U0和?U0。求圆柱面内部的电位函数。

0 b o U0 0 解 由题意可知,圆柱面内部的电位函数满足边界条件为

x

① ?(0,?)为有限值;

?U0

题4.10图

由条件①可知,圆柱面内部的电位函数的通解为

?U0?0??(b,?)????U0??00????2?2????????3?23?2???2?;

?(r,?)??rn(Ansinn??Bncosn?)n?1? (r?b)

代入条件②,有 由此得到

?b(Ann?1?nsin??Bncno?s??)b?(,)

1An?nb?2???(b,?)sinn?d??01b?n?23?2[?U0sinn?d??0??U0sinn?d?]?U0(1?cosn?)?bnn??2U0,n?1,3,5,?n?n?b??0,n?2,4,6,

1Bn?nb?2???(b,?)cosn?d??b?[?Un01?203?2cosn?d??0U??0cosn?d?]?

n?3?2U0,?(?1)2nn?b?U0n?3n?(sin?sin)??0,?bnn?22n?1,3,5,n?2,4,6,

?(r,?)?故

2U0?n?1,3,5,??n?31rn()[sinn??(?1)2cosn?]nb (r?b)

4.11 如题4.11图所示,一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?,在距离轴线有一与圆柱平行的线电荷解 在线电荷

r0(r0?a)处,

ql,计算空间各部分的电位。

ql作用下,介质圆柱产生极化,介质圆柱内外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位

?l(r,?)与极化电荷的电位?p(r,?)的叠加,即?(r,?)??l(r,?)??p(r,?)。线电荷ql的电位

?l(r,?)??为

y ql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos? (1)

而极化电荷的电位

?p(r,?)满足拉普拉斯方程,且是?的偶函数。

a ? o ?0 ql介质圆柱内外的电位

?1(r,?)和?2(r,?)满足的边界条件为分别为

r0 x

① ②

?1(0?,为有限值;)

题4.11图

?2(r,?)??(,?)r?(? )lr?1??2,???1????02?r?r

③ r?a时,

由条件①和②可知,

?1(r,?)和?2(r,?)的通解为

??1(r,?)??l(r,?)??Anrncosn?n?1? (0?r?a) (2)

?2(r,?)??l(r,?)??Bnr?ncosn?n?1 (a?r??) (3)

将式(1)~(3)带入条件③,可得到

?Aann?1?ncosn???Bna?ncosn?n?1? (4)

?(An?nan?1?Bn?0na?n?1)cosn??(???0)n?1?ql?lnR2??0?r?r?a (5)

n当

r?r0时,将lnR展开为级数,有

lnR?lnr0??1r(n?1nr0)cn?os (6)

带入式(5),得

?(An?nan?1?n?1?Bn?0na?n?1(???0)ql)cosn???2??0r0an?1()cosn??rn?10 (7)

?n?nAa?Bann由式(4)和(7),有

An?nan?1?Bn?0na?n?1??(???0)qlan?1()2??0r0r0

ql(???0)1ql(???0)a2nAn??Bn??nn2??(???)nr2??(???)nr000000由此解得 ,

故得到圆柱内、外的电位分别为

ql(???0)?1rn?1(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn?2??02??0(???0)n?1nr0 (8)

ql220ql(???0)?1a2n?2(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn?2??02??0(???0)n?1nr0r (9)

ql220讨论:利用式(6),可将式(8)和(9)中得第二项分别写成为

ql(???0)?1rnql(???0)?()cosn??(lnR?lnr0)?2??0(???0)n?1nr02??0(???0) ql(???0)?1a2nql(???0)?()cosn??(lnR??lnr)?2??0(???0)n?1nr0r2??0(???0)

其中

R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将

?1(r,?)和?2(r,?)分别写成为

?1(r,?)??2?0qlq(???0)lnR?llnr02??0???02??0(???0) 1ql2??0lnR?1?(???0)ql1(???0)qllnR??lnr2??0???02??0???0

?2(r,?)??2?0qlr,???0 由所得结果可知,介质圆柱内的电位与位于(00)的线电荷的电位相同,而介质圆

a2

(,0)

r,qr柱外的电位相当于三根线电荷所产生,它们分别为:位于(00)的线电荷l;位于0的

???0???0qlql??????00线电荷;位于r?0的线电荷。

?