?dS?dt??kIS??dI?kIS?hI??dt?dR?hI??dt??S?I?R?N (1)

变量和符号说明：

k ——传染率：每个病人平均每天有效接触（足以使被解除者感染）的人

数。

h ——退出率：单位时间内治愈和死亡人数占感病者人数的百分数。

S(t)——易感人群的总数。

I(t)——感病者总数。 R(t)——退出者总数。

N——一个城市总人口数。

观察附件二中给出的数据，我们发现截至6月23日，感病者累计为2521人，远远小于北京城市的总人口数150万人，故认为感病者和退出者对易感人群的总数影响不大，易感者总人数I为一常数。原方程变形为：

?dI?kIN?hI??dt （2） ??dR?hI??dt注意到退出者不是我们研究的范围，故方程组（2）实际上是一个常微分方程

dIdt?kNI?hI??I （3）

其中??kN?h，

不难用分离变量法解出：

I(t)?I0e??t （4）

其中I0为初始值。

根据以上分析我们可以看出，常微分方程的传染病模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况。当病例数远小于总人口数时，常微分方程模型的实质与附件1的模型相同，感病人数将随时间以指数增长。

考虑这一特点，我们用计算机跟踪病毒的个体传播情况，建立了模拟模型。

（四）计算机模拟模型：

在该模型中，我们将传染系统中的人分为五类：

自由携带者（f[t]）——身上携带病毒并均匀散布在人群中的患者，根据基

3

本假设自由携带者在潜伏期内不具有传染力，

日增患者（x[t]）——每天被医疗部门发现并加以隔离的感病者

被隔离者（y[t]）——因曾与自由携带者接触而被怀疑携带SARS病毒的人 有效接触者（z1[t]）——每日与自由携带者接触并感染上病毒的人 无效接触者（z2[t]）——每日与自由携带者接触但未染上病毒的人 并作出如下假设：

1、由于传染性SARS最初（1~2天）的症状通常为发热（?38o），发热通常为高热[1]。症状明显，易于辨认，故可认为自由携带者发病后当天或第二天就立即入院治疗，入院后不会再参与疾病的传播。

2、根据实际情况，假设SARS病人被发现的三天内，有关部门将采取措施，将部分与病源有效接触者隔离，这部分人即使发病后也不会参与疾病的传播。

3、与病源有效接触者必然发病。根据基本假设，潜伏期一般为2至7天，这里取为5天。（这一假设在改进模型中有进一步的讨论。）

另外，对模拟模型中出现的符号变量说明如下：

k1 ——有效接触率，表示一个自由携带者平均每天有效接触的人数。 k2 ——无效接触率，表示一个自由携带者平均每天无效接触的人数。

（包括有效接触和无效接触）的人群中可以控制?——与自由携带者接触后

的人数所占的百分比。

模拟模型中个体传播情况如图1所示：自由携带者1~5天处于潜伏期，不具有传染能力；5天后发病，发病后每天有效接触k1人，2天后（第7天）被隔离，在隔离前每天无效接触k2人。与病源接触后的可控人群（占接触者总人数的?）在3天后被视为疑似病人。疑似病人中的有效接触者在接触病源的第7天被发现确认为日增患者，而有效接触者中其他人作为自由携带者留在人群中，继续这之前的个体传播。

有效接触者 自由携带者 第6，7天 3天后 自由携带者 无效接触者 被隔离者 7天中 7 天后 日增患者 3天后 4天后 日增患者 被隔离者

4

图1：个体传播示意图

用数学模型描述各个变量之间的关系如下：

?z1[i?5]?k1f[i]?z[i?6]?k1f[i]?1??z2[i?j]?k2f[i](j?0,1,2,?6) （5） ?f[i]?(1??)z[i]1???x[i]?f[i?6]??z1[i?6]由于北京在4月20日才开始建立每日疫情报道制度，故认为政府采取严格

的隔离措施开始于4月20日，以这一天为分界线，之前属于自由传播阶段。

根据这一模型，用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测。

图2：5月10日以前数据拟合图

5

图3：5月10日以后的预测曲线

通过图2两条曲线的拟合，得到控前的有效接触率（表征病毒的传染力）k=1.35>1,可控率（表征政府的控制力度）??0.5；控后k1=0.8， ?=0.7。根据这两个参数作出5月10日的预测曲线见图3。，根据预测，北京将在第97天（6月下旬）实现零增长，累计病例数2448人。

经过分析，以上确定型的模拟模型存在以下两点问题：

第一、SARS病毒的潜伏期一般是2~7天，模型将潜伏期确定为5天，从感染到被发现的时间确定为7天，可以明显地看到以7天为传播周期的曲线变动，而在实际曲线中，虽然数据有上下波动的趋势，但周期性并不明显。

第二、在采用隔离政策时，模型假定与病源接触的人群以固定的比例?受到控制，这种假设加大了人为主观因素的影响。

基于以上两点，在拟合5月10日之前的数据时，得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差。这种偏差降低了模型的可信度。

基于此，我们查找有关统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立了随机模拟模型。 （五）改进后的随机模拟模型

1、根据上文的分析，在原有模型的基础上作出如下改进假设：

假设一：假设潜伏期的长短服从以5天为期望值，2天为方差的正态分布，即认为自由携带者将以68%的概率在3~7天内发病，以95%的概率在1~9天内发病。

假设二：假设与病源接触的人群每天均以一定的比例?被隔离。该比例服从以1??为期望值，0.05为方差的正态分布。

2、参数的确定：

控前k1——5月23日，美国《科学》杂志及其网站上发表了两篇有关SARS

6