数学模型

线性代数建模案例汇编

目 录

案例一. 交通网络流量分析问题................................................................................ 1 案例二. 配方问题........................................................................................................ 3 案例三. 投入产出问题................................................................................................ 4 案例四. 平板的稳态温度分布问题............................................................................ 6 案例五. CT图像的代数重建问题............................................................................... 8 案例六. 平衡结构的梁受力计算.............................................................................. 10 案例七. 化学方程式配平问题.................................................................................. 12 案例八. 互付工资问题.............................................................................................. 13 案例九. 平衡价格问题.............................................................................................. 14 案例十. 电路设计问题.............................................................................................. 16 案例十一. 平面图形的几何变换.............................................................................. 18 案例十二. 太空探测器轨道数据问题...................................................................... 19 案例十三. 应用矩阵编制Hill密码........................................................................ 20 案例十四. 显示器色彩制式转换问题...................................................................... 22 案例十五. 人员流动问题.......................................................................................... 23 案例十六. 金融公司支付基金的流动...................................................................... 25 案例十七. 选举问题.................................................................................................. 27 案例十八. 简单的种群增长问题.............................................................................. 28 案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解.............................................. 29 案例二十. 最值问题.................................................................................................. 31 附录 数学实验报告模板............................................................ 错误！未定义书签。

数学建模案例分析

案例一. 交通网络流量分析问题

城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。

【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆). 400 500 1 x 100 3 200 图3 某城市单行线车流量

(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.

(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值.

(4) 若x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?

【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.

【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足

500 = x1 + x2 ① 400 + x1 = x4 + 300 ② x2 + x3 = 100 + 200 ③ x4 = x3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组

?500?x1?x2?x?x4??100?1 ?x?x?30023???x3?x4?300?其增广矩阵

?1100500??1?100?1?100?初等行变换?0??????(A, b) =?0110300?0???00?11300???0???由此可得

xx4 x 2 300 4 300

01000010?1?100?1600?

?1?300??00??1

?x1?x4??100??x2?x4?600 ?x?x??300?34即

?x1?x4?100??x2??x4?600. ?x?x?3004?3为了唯一确定未知流量, 只要增添x4统计的值即可.

当x4 = 350时, 确定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50.

若x4 = 200, 则x1 = 100, x2 = 400, x3 = ?100 < 0. 这表明单行线“③?④”应该改为“③?④”才合理.

【模型分析】(1) 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.

?x1?x4?100?x2??x1?500?x1??x2?500?x1?x3?200????(2) 由?x2??x4?600可得?x3?x1?200, ?x3??x2?300, ?x2??x3?300, 这

?x?x?300?x?x?100?x??x?600?x?x?3004?3?41?423?4就是说x1, x2, x3, x4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确

定出其他三个未知量的值.

Matlab实验题

某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等. 220 x1 180 x7 x3 350 x8 x5 160 150 400 290 x10 x6 x12 150 x9 x4 x11 500 300 x2 300 100 图4 某城市单行线车流量

(1)建立确定每条道路流量的线性方程组. (2)分析哪些流量数据是多余的.

(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.

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案例二. 配方问题

在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模. 【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?

【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克). 【模型建立】 根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组

?2x?y?4,?3x?2y?7,?x?y?3, ??x?2y?5.【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵

?214??101??327?初等行变换?012???????(A, b) =?,

113?000????125???000??????x?1,可见 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6

y?2.?克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令?1 = (2, 3, 1, 1)T, ?2 = (1, 2, 1, 1)T, ? = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有解”, 也等价于“?能否由?1, ?2线性表示”.

(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.

(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x克第一种规格的佐料与y克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表

表1 混合后四种原料的含量 原料 佐料规格 第一种 第二种

A 2x 71y 6B 3x 72y 63

C 1x 71y 6D 1x 72y 6

第三种 4(x + y) 197(x + y) 193(x + y) 195(x + y) 19因而有如下线性方程组

14?2x?y?(x?y),?7619??3x?2y?7(x?y),?7619 (?) ?113?x?y?(x?y),?7619?125?x?y?(x?y).?619?7【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(?), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.

Matlab实验题

蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.

表2 三种食物的营养成分和慢跑的消耗情况 每100克食物所含营养(克) 慢跑5分钟每日需要的营营养 养量(克) 牛奶 大豆面粉 乳清 消耗量(克) 36 51 13 10 33 蛋白质 52 34 74 20 45 碳水化合物 10 7 1 15 3 脂肪 问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?

案例三. 投入产出问题

在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief提出了投入产出模型.

这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.

【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求? 【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.

【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表

表3 消耗与产出情况

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