? 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一个发生 A与B同时发生 A发生而B不发生 A不发生 空间（全集） 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集 ? ? A?B AB?? AB AB A?B A 在许多场合中，用集合论的表达方式显得简单些，也更容易理解些. 但对初学者来说，重要的是要学会用概率论的语言来解释事件的关系与运算，并能运用它们.

例1.6 设A,B,C是三个事件，则

(1) 事件“A与B发生，C不发生”：ABC； (2) 事件“A,B,C中至少有一个发生”：A(3) 事件“A,B,C中恰有一个发生”：ABC(4) 事件“A,B,C中至多有一个发生”：ABC(5) 事件“A,B,C同时发生”：ABC； (6) 事件“A,B,C都不发生”：ABC； (7) 事件“A,B,C不全发生”：A2、事件运算的性质

定理1.1 事件的运算满足下列性质： 交换律：AB?BA,AB?BA；

BC；

ABCABC；

ABCABCABC；

BC.

结合律：?AB?C?A分配律：?AB?C?AC对偶律(德莫根公式)：A?BBC,C??ABC,?AB?C?A?BC??ABC；

A.

?AB?C??AC??BC?；

B?BB?BA；A德莫根公式是很有用的公式，它可以推广到任意有限个事件，即

nnnnAi?i?1i?1Ai；

i?1Ai?i?1Ai.

下面的关系式是显而易见的，也是有用的：

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??AB?A?ABB??；

AA??,AA??；

A?A,???,???

A???,A??A；

A??A,A?B?AA???；

B?B；

B?A,AA?B?A?AB?AB；

AB?A(B?A)?B(A?B)；

A?AB习题1.1：7P10 七、 事件域

AB.

现在我们给出“事件域”的概念，是为了下一节定义事件的概率作准备. 所谓“事件域”从直观上讲就是一个由样本空间的某些子集组成的集合类，记为F. 问题是F中应该有那些元素？首先F中应该包含?和?；其次应该保证事件经过并、交、差、对立等运算后仍然是事件，即要求F对事件的运算具有封闭性. 由于

? 交的运算可通过并与对立来实现(德莫根公式)； ? 差的运算可通过交与对立来实现(A?B?AB).

这样一来，F只要对并与对立运算封闭就能保证其对并、交、差、对立运算封闭，因此可给出事件域的定义如下：

定义1.1 设F是样本空间?中的某些子集构成的集合，若F满足: (1) ??F；

(2) 若A?F，则A?F； (3) 若Ai?F，i?1,2,?，则 则称F为事件域(?-代数).

在概率论中，又称??,F?为可测空间，这里“可测”是指F中都是有概率可言的事件.

例1. 7 常见的事件域

?A?F，

ii?1?7

(1) 若样本空间?为有限个或可列个样本点组成，则常取?的一切子集所组成的集合类作为F，易见F是事件域；

例如??{W1,W2}?F?{?,A,A,?},其中A?{W1}.

??{W1,01,Wn}?F中含有Cn?Cn?n?Cn?2n个事件.

(2) 若样本空间???(??,??)，此时事件域F可由一个基本集合类

L??(??,x):???x????

逐步扩展生成(见P.9.教材). 习题1.1：11P1011

作业：习题1.1：1(1)(4)(5)，2，3，6.

§1.2 概率的定义及其确定方法

一、概率的公理化定义

简单而直观的说：概率就是事件发生可能性大小的度量. 对此我们先看以下一些经验事实：

1. 事件的发生是带有偶然性的，但事件发生的可能性是有大小之分的. 例如，口袋中有10只相同的球，其中9只黑球，1只白球，从中任取1球，人们的共识是：取出黑球的可能性比取出白球的可能性大；

2. 事件发生的可能性大小是事件本身固有的东西，就像棍子有长度，土地有面积一样。而且事件发生的可能性大小是可以设法度量的. 例如，抛一枚硬币，出现正面与出现反面的可能性各位0.5；抽取一件产品可能为正品，也可能为次品，但产品质量的好坏可以用次品率来度量；购买彩票后可能中奖，也可能不中奖但中奖的可能性大小可以用中奖率来度量.

在概率论发展史上，曾有过概率的频率定义、古典定义和几何定义. 这些定义各适合一类随机现象，有各自的优缺点. 如何给出适合一切随机现象的概率的一般定义呢？1933年俄罗斯（苏联）数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义，这个定义既概括上述几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足定义中的三条公理，才能说它是

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概率. 有了这个公理化定义后，概率论得到了很快的发展.

定义1.2 设P是定义在事件域F上的集函数，若P满足:

(1) 非负性：P?A??0,?A?F；

(2) 正则性：P????1 ；

(3) 互斥事件的可列可加性：Ai?F,AiAj??,i?j,i,j?1,2,

????P???Ai????P?Ai?， ?i?1?i?1则称P为概率，而称P(A)为事件A的概率.

通常把在?-代数F上定义的非负、可列可加的集函数称作是F上的测度（如长度、面积、体积等），而概率只不过是事件域F上的一个规范化的测度。在概率论中，又称??,F,P?为概率空间.

概率的公理化定义只是规定了概率所满足的特征性质，并没有告诉人们如何确定概率. 历史上在公理化定义出现之前，概率的频率定义、古典定义和几何定义都在一定的场合下，有着各自确定概率的方法，因此，在有了概率的公理化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的. 二、确定概率的频率方法

确定概率的频率方法是一种最常用的方法，其基本思想是：

(1) 在n次重复试验中，事件A出现了n(A) 次，称

n(A) (2.1) fn(A)?n为事件A出现的频率.

(2) 人们的长期实践表明：随着试验重复次数n的增加，频率fn(A)会逐渐稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频率的稳定值. 这个频率的稳定值就是事件A的概率，即

P(A)?a，

这个概率称为统计概率，即定义概率为频率的稳定值。它满足概率的公理化定义.

(3) 频率方法的缺点是：在实际中，由于试验需要大量的人力物力，再加上有些试验具有破坏性，使得人们无法把一个试验无限次地重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是很困难的. 但频率方法提供了求概率近似值的方法，为概率提供了一个可供想象的具体值，并且在试验重复次数n较大时，可用频率给出概率的一个近似值，这一点是频率方法最有价值的地方. 在统计学中就是这样做

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的，且称频率为概率的估计值，概率为频率的稳定值。

例2.1 说明频率稳定性的例子（见教材P： 14）(1) 抛硬币试验； (2) 英语字母的频率. 三、确定概率的古典方法

确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形. 它简单、直观，不需要做大量重复试验，而是在经验事实的基础上，通过逻辑分析得出被考察事件的概率.

若一试验满足以下两条件：

(1) 有限性：试验结果只有有限个：?1,?2,?,?n；

(2) 等可能性：每个试验结果出现的概率均相等：

1P??i?=； i?1,2,...,n。

n则称该试验为古典概型。

在古典概型中，若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为

P?A?=

A中样本点的个数k?. (2.2) n样本点总数这个概率称为古典概率，它满足概率的公理化定义.

计算古典概率的关键是“数”样本空间中的样本点数和事件A中的样本点，这里的“数”不是简单的数，对于简单的试验可通过列举法得到样本点数，但对于复杂的试验，还需借助于排列组合的知识得到。

例2.2 （补充题）掷一枚硬币三次（或抛三枚硬币一次），求恰好出现一次正面的概率.

解 样本空间

??{(正正正),(反正正),(正反正),( 正正反),

(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}.

用A表示“恰好出现一次正面”，则

A={(正反反),(反正反),(反反正)}.

3故所求概率P(A)?.

8注意 若将样本空间写成?1?{(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}，此样本空间中的样本点不等可能.

在计算古典概率时，一般不用将样本点一一列出，但一定要保证样本点为等

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