?7??1??27???????700p1????????0.149?10?6；p1??35????7?类似地可求得
?7??1??27????????6??1??0??0.104?10?6；
?35????7?p3?28.104?10?6；p4?84.318?10?6；p5?1.096?10?3；p6＝1.827?10?3；p7＝30.448?10?3.
不中奖的概率为
p0?1?p1?p2?p3?p4?p5?p6?p7?0.966515.
例3.8 （生日问题）某班级有n个人（n?365），至少有两个人的生日 相同的概率为多大？（利用盒子模型）
例3.9 （配对问题）有n个士兵，每人各有一支枪，这些枪外形完全一样. 在一次夜间紧急集合中，每人随机取一支枪，求至少有一人拿到自己的枪的概率.
解 记Ai??第i个人第i支枪?，i?1,2,用一般加法公式，由于
P(A1)?11,P(AiAj)?,1?i?j?n,nn(n?1),P(A1A2An)?1， n!要求P(A1,n，A2An). 只能
故
P(A1A21?n?1An)?n??????n?2?n(n?1)?1?11??2!3!?(?1)n?1?(?1)n?11. n!1 n!二、概率的连续性
为了讨论概率的连续性，我们先给出以下两个定义. 定义3.1 (1) 若集合序列?An?满足：A1?A2?调不减集合序列，其极限集合定义为
??An，则称?An?为单
limAn?n??An； (3.1)
n?1(2) 若集合序列?An?满足：A1?A2?集合序列，其极限集合定义为
??An，则称?An?为单调不增
limAn?n??An. (3.2)
n?116
定义3.2 设P是一个集合函数，若对单调不减（增）集合序列?An?有
limP(An)?PlimAn， (3.3)
n??n????则称P是下（上）连续的.
定理3.2 （概率的连续性）概率P既是下连续的又是上连续的. 证明 先设?An?为单调不减事件序列，即An?An?1,n?1,2,?，令
B1?A1，Bn?An?An?1,n?2,3,显然有BiBj??,(i?j)，且
??.
limAn?n??n?1An?n?1Bn
故由可列可加性得
?n?PlimAn??P(Bi)?lim?P(Bi)?limP?Bi?
n??n??n??i?1i?1?i?1????n?n??limP?Ai??limP(An). n???i?1?n??此即(3.3)，即概率P是下连续的.
再证P的上连续性. 若?An?为单调不增事件序列，则?An?为单调不减事件序列，由概率的下连续性得
1?limP(An)?lim??1?P?An????limP(An)
n??n??n??????????????P?An??P?An??1?P?An?.
?n?1??n?1??n?1???至此得
????limP(An)?P?An?. n???n?1?这就证明了P的上连续性.□
作业：习题1.3：5 (1) (3) (4)，13，16，17.
17
§1.4 条件概率
一、条件概率的定义
所谓条件概率是指在某事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率，记为
P(A/B)
我们先考察一个简单的例子. 例4.1 某班有学生如下表： 从班任一学
第1组 其它组 合 计 团 员 非团员 4 6 11 19 15 25 合 计 10 30 40 该内选个生
当代表，并记A?“所选的学生在第一组内”， B?“所选的学生为团员”. 则
101154P(A)??，P(B)?，P(AB)?
4044040若已知所选的学生为团员，要求该生在第一组内的概率，这就是在B发生的条件下A发生的条件概率，记为P(AB). 在B发生的条件下可能选取的样本点总数应为“团员的总数”，也即把样本空间缩减到团员全体. 而在B发生的条件下A所含的样本点数为第1组的团员数，故
4. 15仔细观察后发现，P(A|B)与P(B)、P(AB)之间有如下关系：
P(AB)?P(A|B)?4440P(AB)? ?151540P(B)这个关系式对一般的古典概率、几何概率均成立. 由此得出如下的定义. 定义4.1 对任意事件A,B，若P(B)?0，则称
P(A|B)?P(AB) (4.1) P(B)为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率.
例4.2 盒中10件产品中有7件正品3件次品，从中不返回地依次取两次，每次取一件，已知第一次取到次品，求第二次又取到次品的概率.
18
解 设Ai?“第i次取到次品”，i?1,2，要求P(A2|A1)，下面给出三种解法：
(1) 抽取两次的所有可能结果为10?9?90个，而在A1发生下，样本点个数缩减为3?9?27个，其中属于A2的样本点有3?2?6个，故
62P(A2|A1)??；
279(2) 在A1发生下，盒中还剩下9件产品，其中2件次品，因此
2P(A2|A1)?；
9(3) 按定义计算：
P(A2|A1)?P(A1A2)3?2(10?9)2??.
P(A1)3109由例4.2三种解法可见，在计算条件概率时，并不一定要用公式(4.1)；附加条件意味着对样本空间的缩减，相应的条件概率可在缩减的样本空间内进行计算；有时直接从附加条件后改变了的情况出发，计算条件概率会更加方便.
应注意从条件概率的存在性及其与非条件概率的区别两方面来理解条件概率。
条件概率是概率，即P(?|B)满足概率的三条特征性质： (1) 非负性：P(A|B)?0； (2) 正则性：P(?|B)?1；
(3) 可列可加性：若Ai(i?1,2,)为一列两两互不相容事件，则
????P?Ai|B???P?Ai|B?. ?i?1?i?1因此，§1.3中证明的所有性质对条件概率仍然适用. 但要注意，使用计算公式时必须在同一条件下进行. 例如：
P(A|B)?1?P(A|B)，
P(A1课堂练习：
2). 1. 设A?B，且P(B)?0，则下列必然成立的是(○1 P(A)?P(A|B)； ○2 P(A)?P(A|B)； ○
3 P(A)?P(A|B)； ○4 P(A)?P(A|B). ○
A2|B)?P(A1|B)?P(A2|B)?P(A1A2|B).
2. 设P(A)?0.6，P(AB)?0.84，P(??BA)?0.4，
19
则P(B)?(0.6).
下面介绍条件概率的三大公式——乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式. 二、乘法公式
由定义4.1，可用条件概率表示A,B的乘积概率，此即乘法公式： 定理4.1 设A,B?F，若P(A)P(B)?0，则
P(AB)?P(B)P(A|B) (4.2 )P(AB)?P(A)P(B|A) (4.?2 )两个事件的乘法公式可推广到n个事件的情形，即
P(A1A2An)?P(A1)P(A1|A2)
2 ?P(A2|A1A2)PA(nA|A1概率）直接计算，实际问题中应视具体情况而定.
)An? 1 ) (4.3 几个事件乘积的概率可依照上述乘法公式计算，也可按照乘积的意义（古典
例4.3P例1.4.3箱中100个零件中有10个次品. 从中一个一个不返回地取
41
出，问第三次才取到次品的概率是多少？
解 令
Ai?“第i次取出的是次品”i?1,2,3，
则由乘法公式得所求概率为
PA1A2A3?PA1PA2|A1PA3|A1A2
?908910?? 1009998?????????0.0826
例4.4P例1.4.5（摸彩模型）设在n张彩票中有一张奖券，求第i人摸到奖
43
券的概率。
解：设Ai表示第i人摸到奖券，i?1,2,P(Ai)?P(A1A2Ai)?P(A1)P(A2/A1),n，则
P(Ai/A1Ai?1)?n?1n?2??nn?1?11? n?i?1n因此摸到奖券与摸的次序无关，只与奖券所占的比例有关。类似可得：n张彩票中有k张奖券，则第i人摸到奖券的概率为。
kn三、全概率公式
先介绍一个相关概念.
20