定义4.2 若事件组?B1,B2,(1) Bi(i?1,2,,Bn?满足：

n,n)两两互不相容，且

i?1Bi??；

(2) P(Bi)?0,i?1,2,则称?B1,B2,,n，

,Bn?是样本空间?的一组分割或完备事件组。.

,Bn?为?的一组分割，则对任一事件A

样本空间?的分割有无数多个，?B,B?是样本空间?最简单的一组分割.

定理4.2 （全概率公式）设?B1,B2,有

P(A)??P(Bi)P(A|Bi). (4.4 )i?1n?n?证明 因A?A??A?Bi???i?1?故由有限可加性得

n(ABi)，且AB1,AB2,i?1,ABn两两互不相容，

?n?nP(A)?P?ABi???P(ABi)

?i?1?i?1??P(Bi)P(A|Bi). □

i?1n全概率公式意味着“全”部概率P(A)被分解成了若干部分之和. 对于复 杂事件A的概率P(A)难于计算时，若A总随某个Bi伴出，而各P(Bi)和条件 概率P(A|Bi)又易于计算，我们就可运用全概率公式来计算P(A).

? 运用全概率公式的关键在于寻找?的一组分割?B1,B2,? 全概率公式最简单的形式：

,Bn?.

P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) (4.5)

? 将定理4.2的条件“?B1,B2,n,Bn?为?的一组分割” 中的

nBi??削弱

i?1为A?i=1Bi，(4.4)仍然成立.

例4.5 盒中10件产品中有7件正品3件次品，从中不返回地依次取两次，每次取一件. 求取出的第二件为次品的概率.

解 设Ai?“取出的第i件为次品”，i?1,2. 由全概率公式得

P(A2)?P(A1)P(A2A1)?P(A1)P(A2A1)

21

?(310)?(29)?(710)?(39)?310.

例4.6 （摸彩模型）设n张彩票中有k(k?n)张奖券，试证：第i人摸

k到奖券的概率为，i?1,2,,n.（选讲）

n21,证 设Ai(n,k)?“n张彩票中有k张奖券，第i人摸到奖券”，i?,k易见P(A1(n,k))?；

nk假设P(Ai?1(n,k))?，则由全概率公式得

nn.

P(Ai(n,k))?P(A1(n,k))P(Ai(n,k)A1(n,k))?P(A1(n,k))P(Ai(n,k)A1(n,k)) 我们把i次摸彩分为两段：第1次摸彩与后i?1次摸彩. 当第1次摸到奖券时，原来从n张彩票含k张奖券中第i次摸到奖券等价于从n?1张彩票含k?1张奖券中第i?1次摸到奖券，故由归纳假设得

P(Ai(n,k)A1(n,k))?P(Ai?1(n?1,k?1))?nk,A)1n(k,?)P)Ai?1(n?(k同理得 P(Ai(k?1， n?1k?1,)). n?1于是有

P(Ai(n,k))?kk?1n?kkk????. nn?1nn?1n 由归纳法知结论成立.□

例4.6表明，购买彩票时，不论先买后买，中奖机会是均等的.

例4.7 甲口袋有a只黑球、b只白球，乙口袋有n只黑球、m只白球. 先 从甲口袋任取1只球放入乙口袋，再从乙口袋任取1只球. 试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.（习题13-1） an?1bn???解 所求概率为：. a?bn?m?1a?bn?m?1 思考题 甲口袋有a只黑球、b只白球，乙口袋有n只黑球、m只白球. 先从甲口袋任取2只球放入乙口袋，再从乙口袋任取1只球. 试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率. （习题13-2）

例4.8P44 例1.4.6（敏感性问题调查）设计一个调查方案，并由调查数据估计出敏感性问题（如学生考试作弊、看黄色书刊或影像等）的比率p.

调查方案：抛硬币回答以下两个问题（抛出正面回答问题A，抛出反面回答问题B）：

问题A：你的生日是否在7月1日之前？

22

问题B：你是否考试作弊？ 答卷上只有“是”与“否”.

（分析：回答是的原因有两种：出现正面和出现反面。） 设收回n张答卷，其中有k张回答“是”. 同时我们还知道：

(1) 在参加的人中，任选一人其生日在7月1日之前的概率为0.5； (2) 抛硬币出现反面的概率也0.5.

现在，我们从4个数据（n, k, 0.5, 0.5）来求p. 由全概率公式得

P?是??P?正?P?是正?＋P?反?P?是反?

k?0.5?0.5?0.5?p. nkn?0.5?0.5p?.

0.5由于我们用频率kn代替P?是?，故从上式得到的是p的估计值.

例4.7 某工厂有三条流水线生产同一种产品，第一条流水线的产量是第二条的两倍，第二、三条流水线的产量相等，又这三条流水线的不合格率依次为2%、2%、4％. 现在从出厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？

解 令

A??取到的产品为不合格品?；Bi??取到的产品来自第i条流水线?，

i?1,2,3，则

P(B1)?0.5，P(B2)?P(B3)?0.25；

P(AB1)?P(AB2)?0.02，P(AB3)?0.04.

故由全概率公式得

P(A)??P(Bi)P(ABi)

i?13?0.5?0.02?0.25?0.02?0.25?0.04

?0.025.

四、贝叶斯公式

由条件概率的定义与全概率公式立得以下定理：

定理1.4 （贝叶斯公式）设B1,B2,P(A)?0，则

,Bn是?的一个分割，若A满足

23

P(Bi|A)?P(Bi)P(A|Bi)?P(B)P(A|B)jjj?1n,i?1,2, ),n. (1.8在实际问题中，我们常把B1,B2,，,Bn看作是导致结果A发生的“原因”

P(B1),P(B2),,P(Bn)表示各种原因发生的可能性的大小，称之为先验概率，一

般是以往经验的总结，在结果A发生之前就已知晓. 现在结果A发生了，这一补充信息有助于进一步探讨结果发生的“原因”. 条件概率P(B1|A),

P(B2|A),,P(Bn|A)称为后验概率，它表示结果A发生之后，对各种“原因”

,P(Bn|A)中最大的一个，比如是

发生可能性的重新认识. P(B1|A),P(B2|A),发生的“原因”进行判断。

P(B1|A)，即导致结果A发生的“原因”B1的可能性最大。这有助于我们对结果 例如，某人向你借钱，并说过两天还你，你相信了，于是就借给他，过两天后，他不但没还，又来向你借钱，并说过两天还你，你会犹豫一会借给他，过几天后，他没还你钱，但还要借，此时你还会借给他吗？

例4.9 （续例4.8）在例4.8中，若该厂规定，出了不合格品要追究有关流水线的经济责任。现在从出厂产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问厂方如何处理这件不合格品比较合理？比方说，第3条（或第1条、第2条）流水线应承担多大责任？

解 由贝叶斯公式及例4.8得

P(B3|A)?P(B3)P(A|B3)=0.4.

P(A)例4.10 某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查.根据以往临床资料，具有如下的效果：若以A表示 “检查结果为阳性”，以B表示“被检查者患肝癌”，则P(AB)?0.99，P(AB)?0.999. 若在普查中查出某人检查结果为阳性，求此人真正患肝癌的概率P(BA).

解 由贝叶斯公式得

P(BA)??P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)

0.0004?0.99?0.284.

0.0004?0.99?0.9996?0.001例4.11P47例1.4.8

24

课堂练习：口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的. 现再往口袋中放入一个白球，然后从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？?习题20, 答案: 23?

作业：习题1.4：2，8，10，14，18.

§1.5 独立性

一、 两个事件的独立性

一般地，P(A|B)?P(A)，即事件B的发生对事件A发生的概率有影响.但也有相反的情况（举例说明），事件B的发生对事件A的发生的概率没有影响，即有P(A|B)?P(A).由此可推出P(AB)?P(A)P(B)此又可推出P(B|A)?P(B)，即事件A的发生对B也无影响. 可见独立性是相互的，它们等价于

P(AB)?P(A)P(B). (5.1)

(5.1)对P(B)?0或P(A)?0仍然成立. 由此启示我们用(5.1)作为两个事件相互独立的定义.

定义5.1 若(5.1)成立，则称事件A与B相互独立，简称A与B独立.否则称A与B不独立或相依。

注 若P(A)?0或1，则A与任何事件都独立.

例5.1 求证：若P(A)P(B)?0，则“A与B互不相容”和“A与B相互独立”不能同时成立。

证 若A与B互不相容，则P(AB)?0；若A与B相互独立，则

P(AB)?P(A)P(B?). 0故二者不能同时成立。

定理5.1 若事件A与B独立，则事件A与B;A与B;A与B也独立。 二、多个事件的独立

下面先给出三个事件独立的定义。

定义5.2 对于三个事件A,B,C，若下列4个等式成立：

P(AB)?P(A)P(B)??P(AC)?P(A)P(C)? (5.2 )P(BC)?P(B)P(C)??25