)P(ABC)?P(A)P(B)P(C) (5.3则称事件A,B,C相互独立；若仅(5.2)成立，则称A,B,C两两独立.

由定义5.2知，事件相互A,B,C独立，则必两两独立；但若事件A,B,C两两独立独立，则事件A,B,C未必相互独立。

例5.2 设样本空间????1,?2,?3,?4?含有等可能的四个基本事件，令

A???1,?2?,B???1,?3?,C???1,?4?.

?则 P(A)?P(B)1P(C?)

21P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?

4且 P(AB)?P(A)P(B),P(AC)?P(A)P(C),P(BC)?P(B)P(C) 但

P(ABC)?11??P(A)P(B)P(C) 48由定义5.2知，事件A,B,C两两独立，但事件A,B,C并不相互独立.

定义5.3 设A1,A2,?,An是n个事件，若对任意k(2?k?n)个事件

Ai1,Ai2,,Aik1?i1?i2??ik?n，有

P(Ai1Ai2则称A1,A2,?,An独立.

Aik)?P(Ai1)P(Ai2)P(Aik) (5.4 )23?Cn? 注：（1）（5.4）共包含Cnn?Cn?2n?n?1个等式成立。

（2）将n个独立的事件A1,A2,,An任意分为m个无重叠事件组，各组内事件

独立，且各组内事件进行运算后得到的新事件也独立.

（3）在实际应用中，独立性的定义常常不是用来判断独立性，而是利用独立性来计算事件乘积的概率，独立性往往是根据实际意义或经验来判断的

定理5.2 设事件A1,A2,?,An独立，则把其中任意m(1?m?n)个事件换成其对立事件，所得到的n个事件也独立..

例5.3 甲、乙两射手各向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7.（！）求目标被击中的概率；（2）现已知目标被击中，求它是甲击中的概率.（习题3）

解 （1）令A??甲击中目标?，B??乙击中目标?，C??目标被击中?. 则

26

解法一：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B) ?0.6?0.7?0.6?0.7?0.88；

解法二：P(AB)?1?P(A)P(B)?1?(1?0.6)(1?0.7)

?1?0.12?0.88.

（2）P(AC)?P(AC)P(A)0.615. ???P(C)1?P(A)(B)0.8822 例5.4P53例1.5.6 系统由多个元件组成，且各元件均独立地工作. 设每个元件正常工作的概率均为p?0.9，试求以下系统正常工作的概率.

(1) 两个元件的串联系统S1； (2) 两个元件的并联系统S2； (3) 五个元件的桥式系统S3.

1 2 1 3 4 5 2 1 S12 S2S3解 令Ai??第i个元件正常工作?，则P(Ai)?p. 故有 (1) P(S1)?p2?0.81； (2) P(S2)?1?(1?p)2?0.99； (3) 利用全概率公式得（图见教材）：

P(S3)?P(A3)P(S3A3)?P(A3)P(S3A3)

222???p?1?(1?p)?(1?p)1?(1?p)??????0.9785

2三、试验的独立性

定义5.4 若试验E1的任一结果与试验E2的任一结果都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立，或简称独立试验.

若某试验只有两个结果A和A（成功、失败；正面、反面；合格品、不合格品），则称这个试验为伯努利(Bernoulli)试验.

常记伯努利试验中事件A的概率为p (0?p?1). 将伯努利试验独立重复n次的试验称为n重伯努利试验.

定理5.3若以X表示“事件A在n重伯努利试验中发生的次数”，则

27

?n?P(X?k)???pk(1?p)n?k,k?0,1,2,?k? ),n. (5.5例5.6 甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4. 比赛可采用以下两种方案：(1) 三局两胜制；(2) 五局三胜制. 问哪一种方案对甲更有利？（习题18）

解 以X表示甲获胜的局数，则在上述两种方案中，甲获胜的概率为

?3?(1) P(X?2)????(0.6)k(0.4)3?k?648;

k?2?k?3?5?(2) P(X?3)????(0.6)k(0.4)5?k?682.

k?3?k?5因此五局三胜制对甲更有利.

作业：习题1.5：1，4，8，13.

补充题: 一张数学试卷，有4个选项的单项选择题5道. 某同学投机取巧，随意选择答案，问他至少选对3道题的概率是多大？(0.1035)

第一章 小结

本章从掷硬币这类具体的随机现象出发逐步给出了随机试验E、样本空间

?、事件域F及F中的每一个事件的概率P. 最后给出了概率空间??,F,P?这

一描述一般随机现象的数学模型. 在学习本门课程时，除了要掌握抽象的数学公式的逻辑推演、证明以外，更重要的是要了解抽象概念的直观背景. 比如事件的关系与运算和集合的关系与运算是一致的，但重要的是要知道其在概率论中的含义. 只有这样才能真正学好这门课程. 本章主要讨论了以下三个问题.

一、事件的关系与运算

“事件”是概率论中最基本的概念之一. 事件的关系与运算是本章的基本内容之一，它们是后面进行概率计算的前提和基础，务必牢固掌握.

二、概率的概念与性质

28

“概率”是概率论中最基本的概念之一. 我们首先在公理化结构下严格地定义了这个概念. 为了使学生清楚地理解概率的直观意义，我们给出了确定概率的三种方法：频率方法、古典方法、几何方法. 古典概型是概率论中最重要的概型之一，对古典概率的讨论不仅有助于概率论的基本概念的直观理解，而且在以后讨论更一般的情况时，也常以它为特例加以考虑. 古典概率的计算具有较高的技巧，同学们应该掌握住一些最基本的计算方法. 将古典概型中只有有限个样本点推广到有无穷个样本点的情形，并保留等可能性的条件，就得到几何概型. 搞清频率与概率的关系是十分重要的一个课题，今后我们将一再回到这个问题上来.

概率的性质是本章的基本内容之一，也是学习以后各章的必要基础，务必牢固掌握.

三、条件概率与独立性

本章的另一个重要内容是条件概率与独立性. 条件概率也是“概率”. 因条件概率P(A|B)是在已知B发生的附加信息条件下的概率，故一般要比求无条件概率简单，这样我们便可以利用有关条件概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式求一些较复杂事件的概率. 这些公式是实际应用中常见的，同学们可以通过例题与练习掌握运用公式的技巧.

独立性是概率论中最重要的概念之一. 概率论与数理统计中很多内容都是在独立性的前提下讨论的. 就解题而言，独立性有助于简化概率的计算.比如计算独立事件的积的概率，可简化为

?n?nP?Ai???P?Ai?； ?i?1?i?1计算独立事件的和的概率，可简化为

n?n?P?Ai??1??PAi.

i?1?i?1???伯努利概型是概率论中最重要的概型之一. 正是通过对这个概型的不断 深入地研究，逐渐提出了概率论特有的课题，创造出相应的工具与方法. 它 对后来的发展有着不可估量的影响. 在第二章我们将由伯努利概型引入概率论中最重要的分布之一 二项分布. 在第四章，我们将继续讨论这个概型，并证明有关的极限定理.

29

四、例题选解

1*、设两事件A,B同时发生时，事件C必发生，则下列必成立的是( ). A. P(C)?P(A)?P(B)?1 B. P(C)?P(A)?P(B)?1 C. P(C)?P(AB) D. P(C)?P(AB)

2*、设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(AB)?P(AB)?1，则A与B ( ).

A. 互不相容 B. 对立 C. 独立 D. 不独立

3、每次试验的成功率为p(0?p?1),重复进行试验直到的第n次才取得

k(0?k?1)次成功的概率是( ).

?n?A. ??pk(1?p)n?k B. ?k?C. p(1?p)kn?k?n?1?kn?k??p(1?p) ?k?1??n?1?k?1n?k D. ??p(1?p)

?k?1?4、5个人在第1层进入11层楼的电梯，假如每个人以相同的概率走出

5A10任一层（从第2层开始），此5人在不同楼层走出的概率是(5). （§1.2:15）

105、某厂一个班组共有男工7人、女工4人，现从中选出3个代表，其中至

3C7少有一个女工的概率为(1?3C11). （§1.3:6）

6*、设10件产品中有4件次品，从中任选两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率.（§1.4:5）

7、已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5，求P(BAB).（§1.4:9）

8*、设有来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地挑出一个地区地报名表，从中先后抽两份。

(1) 求先抽到的一份是女生表的概率；

(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率. 解 令Aj?“第j次抽到的一份是女生表”j?1,2；

，i?1,2,3. Bi?“抽出的报名表来自第i地区”

1?375?2929(1) P(A1)??P(Bi)P(A1Bi)??????； ?P(A2)?31015259090??i?13(2) P(A2)?1－P(A2)?1?2961?；（抽签与顺序无关） 909030

PA1A2??P?Bi?PA1A2Bi

i?1??3??1?3778520?20， ?????????3?10915142524?90PA1A2???PA1A2PA2????=20.

619、 甲、乙、丙3人向同一飞机射击，设各人是否命中相互独立，每人的命中率均为0.4. 若只有一人射中，飞机坠毁的概率为0.2；若两人同时射中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人同时射中，飞机一定坠毁。求飞机坠毁的概率。

解 令A=“飞机坠毁”，Bi＝“恰有i(i?0,1,2,3)个人射中飞机”.

?3?P(B0)?0.63?0.216，P(B1)????0.4?0.62?0.432，

?1??3?P(B2)????0.42?0.6?0.288，P(B3)?0.43?0.064；

?2? P(A|B0)?0，P(A|B1)?0.2，P(A|B2)?0.6，P(A|B3)?1.

所求概率为

P(A)??P(Bi)P(A|Bi)??P(Bi)P(A|Bi)

i?0i?133?0.432?0.2?0.288?0.6?0.064?1 ?0.3232.

31