2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（ ） A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i

2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（ ） A．B．C．D．（﹣1，0） （﹣1，1） （﹣∞，0] （﹣∞，1） 3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A．y=2﹣x

B．y=x3+x

C．y=﹣

D．y=lnx

4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（ ） A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0 5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）

A．15 B．21 C．24 D．35

6．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，

则a的值为（ ）

A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5

8．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（ ）

第1页（共15页）

A．当x=2时，y有最小值 B．当x=2时，有最大值

C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于_______． 10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：

﹣

=1的两条渐近线所围成的三角形面积为

_______．

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=_______． 12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_______（单位：cm2）．

13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为_______辆；这两款车的销售总量约为_______辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）

14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=_______，m=_______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）在[0，

]上的最大值与最小值．

16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：

3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 3月6日 日期

9 11 13 12 8 10 昼夜温差（℃）

25 30 26 16 24 发芽数（粒） 23

（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；

第2页（共15页）

（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足概率．

17．已知等差数列{an}，a2=3，a5=9． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn=c

，其中c为常数，且c＞0，求数列{bn}的前n项和Sn．

的事件A的

18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点． （1）求证：CF⊥平面ABED； （2）求四棱锥C﹣ABED的体积；

（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．

19．已知函数f（x）=xex+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值． （1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 20．已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，

）为椭圆上

一点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；

（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

第3页（共15页）

2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（ ） A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】根据复数的运算和i2=﹣1进行化简即可． 【解答】解：i（1+i）=i+i2=﹣1+i， 故选C．

2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（ ） A．B．C．D．（﹣1，0） （﹣1，1） （﹣∞，0] （﹣∞，1） 【考点】交集及其运算．

【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1）， 由B中不等式变形得：2x＜1=20， 解得：x＜0，即A=（﹣∞，0）， 则A∩B=（﹣1，0）， 故选：A．

3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A．y=2﹣x

B．y=x3+x

C．y=﹣

D．y=lnx

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

【分析】根据奇函数图象关于原点对称，一次函数和y=x3在R上的单调性，反比例函数在定义域上的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

【解答】解：A．y=2﹣x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误； B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）； ∴该函数为定义域R上的奇函数；

y=x3和y=x在R上都是增函数，∴y=x3+x在R上为增函数，∴该选项正确； C．反比例函数

在定义域上没有单调性，∴该选项错误；

D．y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误． 故选：B．

4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（ ） A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0 【考点】直线与圆相交的性质．

第4页（共15页）

【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程． 【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0） ∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP 因此，PQ的斜率k=

=

=1

可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0 故选：C

5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）

A．15

C．24 D．35

【考点】程序框图．

【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．

【解答】解：模拟执行程序，可得 S=0，i=1

T=3，S=3，i=2

不满足i＞4，T=5，S=8，i=3 不满足i＞4，T=7，S=15，i=4 不满足i＞4，T=9，S=24，i=5

满足i＞4，退出循环，输出S的值为24． 故选：C．

6．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】ab≥2，可得：a2+b2≥2ab≥4．反之不成立，例如取a=，b=2．即可判断出结论．【解答】解：∵ab≥2，∴a2+b2≥2ab≥4，当且仅当a=b=

时取等号．

B．21

第5页（共15页）