高等代数习题课指导

高等代数习题课是在各章小单元授课基础上，帮助学生疏理相应小单元基础知识而设立的以练为主、讲练结合的教学形式，使学生进一步理解已授知识的重点，帮助学生克服学习中的难点，因而是整个课程教学的基本环节之一。教学中应明确目的，把握全局，突出练习，以提高习题课的教学质量。

习题课1 矩阵的运算与可逆矩阵（2学时）

教学目的 通过2学时的习题课教学实践，使学生进一步理解、掌握矩阵运算及其可逆矩阵的基础知识与基本方法，把握矩阵证题的基本技巧。

基础提要 略述（结合课堂练习题的解释，点述主要概念、相关定理及其基本方法）。

课堂练习：

1 计算AB，BA，AB－BA，其中

?abc?A??cba?,?111????1ac?B??1bb?．

?1ca???2 设A，B，C∈Mn(F)．证明，若AB=BA，AC=CA，则A (B + C) = (B + C) A；

A (BC) = (BC) A．

3 设A = (aij)nn?Mn(F)，A的主对角元素a11,a22,?,ann的和?aii叫做A的迹，

i?1n记作TrA．设A，B?Mn(F)，证明：

1)Tr(A?B)?TrA?TrB; 2)Tr(kA)?kTrA,k?F; 3)Tr(AB)?Tr(BA); 4)AB－BA?In．

4 设A?Mn(R)，且A?= A．证明，若A2= 0，则A = 0．

5 设A = B+C机遇?Mn(F)，其中B??B,C???C．证明下列命题彼此等价： 1) A?A?AA? ； 2)BC = CB； 3)CB是反对称矩阵．

6 设A?Mn(F)，且A2+A+In=0．证明，A可逆；并求A-1 7 设A?Mn(F)是对合矩阵, 即A2?In,且A??In.证明： 1)A是可逆矩阵, 并求A?1. 2)In?A与In?A都是奇异矩阵. 8 设A，B，C ?Mn(F)．证明： 1)若A非奇异，则AB = AC?B = C；

2)若A奇异，则1)的结论未必成立(举例说明)．

?1?1?19 设A?Mn(F)可逆，且A?1=(bij)nn，求(PijA),(Di(k)A), (Tij(k)A)．

1

10 设A?Mn(R)．证明若以下三命题有两个成立，则其第三个也成立： 1) A是对称矩阵； 2) A是对合矩阵； 3) A是正交矩阵．

课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。 习题课2 行列式的概念及其计算（2学时）

教学目的 通过本习题课的教学实践，提高学生对行列式定义、性质、定理及其应用的认识，把握行列式的计算。

基础提要 略述（类似习题课一的处理）。 课堂练习：

1 已知204，527和255都能被17整除，利用行列式的定义、性质(不计算)证明下面行列式也能被17整除：

204527． 2552 设A?(aij)nn?Mn(F),求

j1j2?jn?a1j1a1j2?a1jna2j1a2j2?a2jn ,

???anj1anj2?anjn这里j1j2?jn取遍所有的n排列．

3 设aij(t)是区间[a, b]上的可微函数，i，j=1，2，…，n．证明：

a11(t)a12(t)?a1n(t)da21(t)a22(t)?a2n(t)n????dt?j?1an1(t)an2(t)?ann(t)da1j(t)?a1n(t)dtda21(t)?a2j(t)?a2n(t)． dt???dan1(t)?anj(t)?ann(t)dta11(t)?4 证明：

xadwybcznzcbywd?x?wy?zx?wy?z. aa?db?ca?db?cxnA?X??5 证明，?Y0i?1X??(x1,x2,?,xn), ?xiyjAij，这里A?(aij)nn?Mn(F)，j?1 2

Y??(y1,y2,?,yn),Aij是|A|中aij的代数余于式．

6 证明：

a011) 1?11a10?010a2?0?1?0n1?0?a1a2?an(a0??)；

i?1ai??an?11?11n1?11?a1a2?an(1??)．

i?1ai???11?an1?a11111?a212) 111?a3???1117 应用Vandermonde行列式计算下列行列式：

x1

x1?1x2x2?1?xnxn?1

8 下列行列式：

x1x12?x1n?1

2n?1

x2x2?x2

．

???

2n?1xnxn?xn

x1a1b2a1b3a2b1x2a2b3a3b1a3b2x3???anb1anb2anb39 计算下列行列式：

?a1bn?a2bn?a3bn；

??xn000； ??yn?x?yn???1?a1a20?11?a2a30?11?a31)

???0000000x?y1y200?xx?y2y300?xx?y3； 2)?????an000?1?an000???10 设A?(aij)nn?Mn(F)．证明：

3

a11?xa12?x?a1n?xnna21?xa22?x?a2n?x?A?x??Aij；其中Aij如§3所示； 1)

???i?1j?1a1n?xan2?x?ann?xa11?a12a12?a13?a1n?1?a1nnna?a22a22?a23?a2n?1?a2n2)??Aij?21???i?1j?1an1?an2an2?an3?ann?1?ann11． ?1课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。 习题课3 行列式的应用与矩阵的秩（1学时）

教学目的 通过一学时的习题课教学实践，增进学生对行列式在矩阵基础应用中的认识及其证题能力。

基础提要 略述（类似习题课一的处理）。 课堂练习：

1 设A?(aij)nn，若i?j(i?j)时都有aij?0，则称A是一个上(下)三角矩阵．证明：

1)两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵；

2)可逆的上(下)三角矩阵的逆阵也是上(下)三角矩阵．

2 设A?Mn(F)．证明，存在非零矩阵B?Mn(F)，使AB=0的充分且必要条件为|A| = 0．

3 设A?Mn(C)．证明：

1)adjA =adjA 2)adj(kA)?kn?1(adjA), k?C

3)adj(A?)=(adjA)?； 4)若A非奇异，则adj(A?1)=(adjA)?1．

4 设A?Mn(F)，n?2．证明：

1)|adjA|?|A|n?1； 2)adj(adjA)?|A|n?2A．

5 设A?Fm?n．若rankA=m(n)，则称A是行(列)满秩矩阵．证明，A是行(列)满

?I?秩矩阵的充分且必要条件为存在n (m)阶可逆矩阵Q (P)，使得A=(Im, 0)Q（A=P ?n?）．

0??课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。 习题课4 向量的线性相关性与线性方程解的理论（2学时） 教学目的 通过2学时的习题课教学实践，增强学生对向量线性相关性概念的理解及其对线性方程组解的理论的认识，基本把握这样类型问题的证

4

明。

基础提要 略述（类似习题课一的处理）。 课堂练习：

1 同上题所设．设?i1,?i2,?,?ir是?1,?,?t中的r个向量，且?1,?,?t中的每个向量都可以由?i1,?,?ir线性表示．证明?i1,?,?ir是?1,?,?t的一个极大线性无关组．

2 设?1,?2,?,?n?Fn．证明，?1,?2,?,?n线性无关的充分且必要条件是Fn的每一个向量都可以由它们线性表示．

3 证明，非零向量组?1,?2,?,?t?Fn线性无关的充分且必要条件是每一个?i，1＜i≤t,都不能由它前面的向量线性表示．

4 设A?Fm?n,B?Fm?t．证明，若rank(A,B) = rankA，则B的列向量组可以由A的列向量组线性表示；反之亦然．

5 设A?Fm?n,rankA=r．证明：

1) 若B是由A的s个行构成的矩阵，则rankB≥r + s－m．

6 设向量组?1,?,?m;?1,?,?t;?1,?,?m,?1,?,?t的秩分别为r1,r2,r3．证明，

max{r1,r2}?r3?r1?r2．

?A??7 设A?(aij)nn?Mn(F),???(b1,?,bn)?Fn,k?F，且B???.证明，若

???k?rankA = rankB，则线性方程组AX??有解．

8 设A?(aij)(n?1)n?F(n?1)?n，A去掉第j列所成矩阵的行列式记作Dj．证明： 1)???(D1,?D2,?,(?1)n?1Dn)是齐次线性方程组AX = 0的解；

2)若有Dt?0,1?t?n，则?是AX = 0的一个基础解系，因此N(A)?L(? )．

?A?9 设A?(aij)mn?Fm?n，A??1?m?1．证明，若齐次线性方程组AX = 0与

?A2?1A1X=0同解，则A的第m行可以由它的前m－1行线性表示．

10 设?0是非齐次线性方程组AX??的一个解,?1,?,?t是AX??的导出组的一个基础解系，令?i??0??i,i?1,2,?,t.证明：

1)?0,?1,?,?t线性无关；

2)若?是AX??的任一解，则???ki?i，其中?ki?1．

i?0i?0tt课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。

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