习题课5 数域F上多项式的因式分解问题（2学时）

教学目的 通过本习题课的教学实践，增进学生对一般数域F上多项式因式分解理论的认识，以便更好地把握其证题。

基础提要 略述（类似习题一的处理）。 课堂练习：

1 证明，在F[x]中，若d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式，且

d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)， u(x)、v(x)?F[x]

则d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式．

2 设f(x)与g(x)是F[x]中的不全为零的多项式，而

A?{h(x)|h(x)?u(x)f(x)?v(x)g(x)?0,u(x)、v(x)?F[x]}．

证明，(f(x)，g(x))|h(x)；且deg(f,g)?degh，此不等式取等号，当且仅当h(x)是f(x)与g(x)的最大公因式

3 设f(x)与g(x)是不全为0的多项式．证明：

(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x))=(f(x),g(x)),其中a,b,c,d∈F,且ad－bc≠0. 4 设f(x)与g(x)不全为零，证明：

1)若u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x))，则(u(x)，v(x))=1；

2) (f(x)g(x),)?1．

(f(x),g(x))(f(x),g(x))5 证明，若(fi(x),gj(x))?1,i?1,2,?,s,j?1,2,?,t，则

(?fi(x),i?1s?gj(x))?1．

j?1t6 设f(x)，g(x)，h(x)?F[x]．证明，若(f(x)，g(x))=1，则(f(x) h(x)，g(x))=(h(x)，g(x)． 7 证明，(f(x)，g(x)h(x))=1的充要条件是(f(x)，g(x))=1且(f(x)，h(x))=1． 8 设p(x)是F[x]中次数?1的多项式．证明，若对于F[x]中的任意多项式f(x) 与g(x)，由p(x) | f(x)g(x)都可推出p(x) | f(x)或p(x) | g(x)，则p(x)是F[x]上的不可约多项式．

9 设f(x)，g(x)?F[x]．n?N*．证明，(f(x),g(x))n?(fn(x),gn(x))．

10 设k>1，若x－a是f(x)的k重因式．证明，x－a也是g(x)?f(x)?(a?x)f?(x)的k重因式．当k=1时，此命题真吗？说明理由．

课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。 习题课6 C、R、Q上多项式的因式分解问题（2学时）

教学目的 通过2学时的习题课教学实践，增进学生对复数域、实数域

6

及有理数域上多项式因式分解理论的认识，以把握这些数域上多项式证题的一般性与特殊性技巧。

基础提要 略述（类似习题课一的处理） 课堂练习

1 证明，1是多项式f(x)?x2n?1?(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?1的三重根． 2 设a是f(3)(x)的一个k重根．证明，a是g(x)?x?a[f?(x)?f?(a)] 2?f(x)?f(a)的一个k+3重根．

3 证明，f(x)?xn?axn?m?b不能有不为零的重数大于2的根．

4 设实系数多项式f(x)?x3?5x2?tx?s的一个根为2－3i，求t与s 的值． 5 证明，若p(x)是R上的不可约多项式，f(x)?R[x]，且f(x)与p(x)在C上有公根?，则p(x) | f(x)．

6 证明，实系数多项式f(x)在实数域上无重因式的充分且必要条件是在复数域上也无重因式．

7 设f(x)?x3?bx2?cx?d是整系数多项式，且bd+cd 是奇数．证明，f(x)在Q上不可约．

8 设f(x)?Z[x]．证明：若f(0)与f(1)都是奇数，则f(x)不能有整数根．

9 设f(x)?Z[x]．证明：若有一个偶数a及一个奇数b，使f(a)与f(b)都是奇数，则f(x)没有整数根．

10 证明：1)设f(x)?Z[x]，m是f(x)的一个整根，则(1?m)|f(1)，(1+m)|f(?1) ．

2)若既约分数

p是整系数多项式f(x)的一个根, 证明，(p?q)|f(1), (p+q) | f(?1)． q课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议 习题课7 二次型基础（2学时）

教学目的 通过2学的习题课教学实践，增进学生对二次型（对称矩阵）化简、化简唯一性及其正定（半正定）二次型（矩阵）的认识，进一步把握矩阵的分块方法。

基础提要 略述（类似习题课一的处理）。 课堂练习：

1 给出有理数域上的两个秩都是r 的n阶对称矩阵A和B，它们在有理数域上不合同．

2 证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：

7

?0Ir0??0Ir????I0?，若n=2r；?Ir00?，若n=2r+1． ?r??001???3 证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：

0??0Ir0??0Ir?I00?或?I0?． 0rr????00I???00?I?n?2r?n?2r???4 设f(x1,x2,?,xn)是一实二次型，若有实n维向量X1,X2，使

?AX1?0,X2?AX2?0．证明，必存在实n维向量X0?0，使X0?AX0?0． X122225 设f(x1,x2,?,xn)?l12?l2其中li(i?1,2,?,p?q)是???lp?lp?1???lp?q，

x1,x2,?,xn的一次齐式．证明，f(x1,x2,?,xn)的正惯性指数? p，负惯性指数?q．

6 设B是n?m阵，A是n阶正定矩阵．证明，rankB?AB=rankB． 7 设A是实对称矩阵．证明，当实数t充分大时，tIn+A是正定矩阵．

8 设实二次型f(x1,x2,?,xn)??(ai1x1?ai2x2???ainxn)2，证明f(x1,x2,

i?1s?,xn)的秩等于rankA，其中A=(aij)sn∈Fsn．

×

9 证明，二次型f(x1,x2,?,xn)是半正定的充分且必要条件是它的正惯性指数与秩相等．

10 证明，n?i?1nxi2?n????xi?是半正定的． ?i?1?2课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。 习题课8 向量空间基础（2学时）

教学目的 通过2学时的习题课教学实践，增进学生对抽象的向量空间概念的理解，把握刻画向量空间的基础：基、维数及子空间直和的刻画。

基础提要 略述（类似习题课一的处理） 课堂练习

1 设向量α1，α2，…，αr线性无关，而α1，α2，…，αr，β，γ线性相关．证明，或者β，γ中至少有一个可以由α1，α2，…，αr线性表示，或者向量组{α1，α2，…，αr ，β}与{α1，α2，…，αr ，γ}等价．

8

2 证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2．若C看成它自身上的向量空间，维数为何？

3 设V是数域F上的n维向量空间，?1,?,?n是V中n个向量．证明，若V中每个向量都可以由?1,?,?n线性表出，则?1,?,?n是V的一个基．

4 证明，多项式组1，x?a,?x?a?,?,?x?a?2n?1是F[x]n的一个基，并求多项式

f(x)=??aixi在这个基下的坐标．

i?0n?15 1)证明，在C[x]n中，多项式组

fi?(x?a1)?(x?ai?1)(x?ai?1)?(x?an)，i?1,2?,n

?，an是互不相同的数； 是一个基，其中a1，a2，?，xn?1到基?，an为全体n次单位根，求由基1，x，2)在1)中，取a1，a2，f1，f2，?，fn的过渡过矩阵．

6 设W1，W2是数域F上向量空间V的两个子空间，α，β是V的两个向量，其中α∈W2，但α?W1，又β?W2．证明：

1)对于任意k∈F,β+kα?W2； 2)至多有一个k∈F，使得β+kα∈W1．

??n是V的一个基，而 7 设V是数域F上一个n维向量空间，?1，?2，(?1，?2，?，?s)?(?1，?2，?，?n)A，其中A?Fn?s．

?，?s)=rankA． 证明，dimL(?1，?2，8 设W1，W2，W都是F上向量空间V的子空间，并且W?W1+W2．问：W=(W ∩W1)+( W∩W2)是否总是成立？若W1?W，则上式是否一定成立？

9 证明，若V=W1?W2，W1=W11?W12，则V=W11?W12?W2．

10 设W1，W是数域F上向量空间V的子空间，且W1?W．若W1在V中的一个补空间是W2．证明W=W1? (W2∩W)．

课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议 习题课9 线性映射(变换)及其矩阵（2学时）

教学目的 通过本习题课的教学实践，增进学生对线性映射（线性变换）运算及有限维向量空间线性变换矩阵的认识，把握高等代数两大主要研究对象的内在联系。

基础提要 略述（类似习题课—的处理）。 课堂练习：

1 设Fn?{(x1，x2,?,xn)xi?F}是数域F上n维行空间，定义

9

?(x1,x2,?,xn)?(0,x1,?,xn?1)．

1)证明?是Fn的一个线性变换； 2)求Ker?和Im?的维数． 2 设?∈EndV．证明：Im? ?Ker?当且仅当?2=0；

3 设V和V?都是数域F上的有限维向量空间，? 是V到V?的一个线性映射．证明，存在直和分解V=U?W，V?=M?N，使得Ker? =U，并且W?M．

4 设V是数域F上一个有限维向量空间．证明，若?∈EndV，则下列三个条件是等价的：

5 设F上三维向量空间V的线性变换?在基{?1,?2,?3}下的矩阵是

?15?115?A=?20?158?， ?8?76???求?在基?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?4?2??3,?3??1?2?2?2?3的矩阵．

若??2?1??2??3，求?(?)在基?1，?2，?3下的坐标．

6 设三维向量空间V上的线性变换?在基?1,?2,?3下的矩阵为A=(aij)33∈M3(F)． 1)求?在基?3,?2,?1下的矩阵；2)求?在基?1??2,?2,?3下的矩阵； 3)求?在基?1,k?2,?3下的矩阵，其中k∈F且k≠0． 7 设{?1,?2,?,?n}是n维向量空间V的一个基，且

?j??aij?i,?j??bij?i,j?1,2,?,n,

i?1i?1nn并且?1,?2,?,?n线性无关．又设?∈EndV，使得? (?j)=?j, j?1,2,?,n．求?在基

?1,?2,?,?n下的矩阵．

8 在n维线性空间中，设有线性变换?与向量?，使得?n?1(?)??，但?n(?)??．

证明，?在某个基下的矩阵是??00?． ??In?10?9 证明：1)若A，B∈Mn(F)，A可逆，则AB~BA． 2)若A~B，C~D，则diag(A，C)~diag(B，D) ．

10 ?是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，若?在任意两个基下的矩阵都相同，则?是位似变换．

课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习的建议。 习题课10 线性变换的化简（2学时）

教学目的 通过2学时的教学实践，增进学生对线性变换的特征值、不

10