变子空间等概念的理解，把握线性变换化简的原理及其基本方法。

基础提要 略述（类似习题课一的处理） 课堂练习

1 设a，b，c∈C，令

?bca??cab??abc?????A?cab，B?abc，C??bca?． ?abc??bca??cab???????证明，A，B，C彼此相似；且若BC=CB，则A，B，C的特征值至少有两个等于零．

2 设A是一个复n阶矩阵．证明： 1)存在复n阶可逆矩阵T，使得

??1b12?b1n??0b?b??1222n?TAT??．

??????0b?b?n2nn??2) A相似于一个上三角矩阵．

?，?n是A的全部特征根(重根按重数计3 设A是一个复n阶矩阵，?1，?2，算)．证明：

?，f(?n)是f(A)1)若f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,则f(?1)，f(?2)，的全部特征根．

?111?12，?，n，2)若A可逆，则?i?0，i?1，并且?1 ，???，??2，n是A的全部特征根．

4 用Hamilton?Cayley定理证明：若n阶阵A的所有不同的特征值是

?1，?2，?，?s，它们的重数分别是k1，k2，?，ks，则?(A-?iIn)i?1ski?0．

5 数域F上n维向量空间V的一个线性变换?叫做一个对合变换，若?2?1V．设?是V的一个对合变换，证明：

1)?的特征值只能是?1；

2)V=V1?V－1，这里V1是?的属于特征值1的特征子空间，V－1是?的属于特征值－1的特征子空间．

6 数域F上n维向量空间V的一个线性变换? 叫做幂零的，若存在一个自然数m，使?m?0．证明：

1)?是幂零变换当且仅当f?(?)=?n；

2)若一个幂零变换?可以对角化，则? 一定是零变换．

?，?t是?7 设?是数域F上n维向量空间V的一个可对角化的线性变换．令?1，?，?t，使得 的全部不同特征值．证明，存在V的线性变换?1，?2，1)???1?1??2?2????t?t； 2)?1??2????t?1V；

11

2，?，t； 3)?i?j?0，若i?j； 4)?i2??i，i?1，2，?，t． 5)?i(V)?V?i，V?i是?的属于特征值?i的特征子空间，i?1，8 设V是复数域C上一个n维向量空间，?,?是V的线性变换，且?? =??． 证明： 1)? 的每一特征子空间都在?之下不变；2)?与?在V中有一公共特征向量．

?，?n下的矩阵是一9 设V是复数域上的n维向量空间，??EndV在基?1，?2，Jordan块，即为?In＋??00?之矩阵．证明：

??In?10?1)V中包含?1的? －子空间只有V自身； 2)V中任一非零? －子空间都包含?n；

3)V不能分解成两个非平凡的? －子空间的直和．

课外建议 结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议 习题课11 矩阵相似问题（2学时）

教学目的 通过教学实践，增进学生对行列式因子、不变因子、初等因子、最小多项式等概念及处理矩阵相似方法的理解，把握矩阵相似的Jordan标准形、有理标准形的求解及其对矩阵相似化简的应用。

基础提要 略述（类似习题课一的处理）。

1 设A，B∈Mn(Q)，F为数域．证明，存在Q上的可逆阵P,使B=P1AP?存在

－

F上的可逆阵T，使B=T1AT．

－

2 证明，n阶矩阵A与其转置矩阵A?相似．

3 设A为n 阶矩阵，f (?)=?2－8?+15，g(?)=?2－4?+3，且f(A)=0，g (A)=0，求A的最小多项式．

4 两个n 阶矩阵的特征多项式相同，它们的最小多项式是否也相同？ 5 设A?M3(C) ．1)若A是幂零矩阵，求A的一切Jordan标准形； 2)若A是幂等矩阵，求A的一切Jordan标准形． 3)若A是对合矩阵，求A的一切Jordan标准形． 4) 设A任意，求A的一切Jordan标准形．

6 设A为n阶非零的幂零矩阵，证明A不能相似于对角矩阵．

7 设A为复n 阶矩阵．证明，A的最小多项式mA (?)无重因式的充分且必要条件是?In－A的初等因子全是一次式．

8 设A?Mn(C)，则有n阶复对称矩阵M1，M2，其中M1可逆，使得A=M1M2．

9 设A为复n 阶矩阵．证明，A可表为一幂零矩阵N与一其初等因子由一次式构成的矩阵之和．

课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。

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习题课12 Euelid空间的概念与基本结构问题（2学时）

教学目的 通过2学时的习题课教学实践，增进学生对实向量空间度量的理解，把握标准正交基的求解、应用及正交补定理的证明与应用。

基础提要 略述（类似习题课一的处理）。 课堂练习：

1 证明，在一个Euclid空间中，对于任意向量α，β，以下等式成立： 1)|α+β|2+|α－β|2=2|α|2+2|β|2；2)?α,β?=

11|α+β|2－|α－β|2． 44在解析几何里，等式1)的几何意义是什么？

2 设α1,α2,…,αn是Euclid空间的n个向量．行列式

G(α1,…,αn)=

?1，?1?2，?1?1，?2??1，?n?2，?2??2，?n????????????????n，?1?n，?2??n，?n

叫做α1,…,αn的Gram行列式．证明，G(α1,…,αn)=0，必要且只要α1,…,αn线性相关．

3 设α，β是Euclid空间中的两个线性无关的向量，满足以下条件：

2?，?2?，?和都是≤0的整数．

?，??，?证明，α与β的夹角只可能是

?2?3?5?． ，，或

23464 设V是一个n维Euclid空间，α1，…，αn是V的一个基．设c1，…，cn是

任意给定的一组实数．证明，V中存在唯一的一个向量α，使得

〈α，αj〉=cj，j=1，2，…，n．

5 证明：1)上三角的正交矩阵必为对角矩阵,且对角线上的元素为1或－1. 2)若A是一个n阶实矩阵，且|A|≠0，则A可以分解成A=QR，其中Q是正交矩阵，R是一个正对角的上三角形矩阵；并且这个分解是唯一的．

3)若A是n阶正定矩阵，则存在一上三角形矩阵T，使A=T?T．

6 在R2中指定内积为〈α，β〉=x1y1+2x2y2．其中α=(x1，x2)，β=(y1，y2)．把这个Euclid空间记作V．找出V到带有标准内积的Euclid空间R2的一个同构映射．

7 证明，实系数线性方程组?aijxj?bi，i=1，2，…，n，有解的充分且必要 条件是向量β=(b1，b2，…，bn)∈R与齐次线性方程组

j?1nn?ajixjj?1n?0，i=1，2，…，n，

的解空间正交．

13

8 设W是Euclid空间V的一个有限维子空间，用?W表示V在W上的正交投影变换．证明，V在W?上的正交投影变换存在，且等于1V－?W ．

9 设W是空间V的一个有限维子空间，α1，…，αm是W的一个正交基．证明，对于α∈V，有

m?W(?)???，?i?i2i?1?i．

课外建议 结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议。 习题课13 Euclid空间的正交变换与对称变换（2学时）

教学目的 通过2学时的教学实践，增进学生对对称变换（对称矩阵）结构与正交变换概念的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力。

基础提要 略述（类似习题课一的处理）， 课堂练习

1 设A是n阶实矩阵．证明，存在正交矩阵U，使U ?AU为三角矩阵的充分且必要条件是A的特征根全为实数．

2 设A，B都是实对称矩阵．证明，存在正交矩阵U，使U ?AU=B的充分且必要条件是A，B有相同的特征值．

3 设A是n阶实对称矩阵，且A2=In．证明，存在正交矩阵U，使得

0??IU?1AU??r?． 0In?r???，?n是A的特征值，4 设f (x1，x2，…，xn)= X ?AX是一个实二次型，?1，?2，且?1≤?2≤…≤?n ．证明对任一X∈R n，有

?1 X ?X≤X ?AX≤?n X ?X．

5 设A，B是两个n阶实对称矩阵，且B是正定矩阵．证明,存在一个n阶实可逆矩阵U,使U ?AU与U ?BU同时为对角矩阵．

6 设V是n维Euclid空间．证明，V的正交变换?若有特征值，则它的特征值必为1或－1．

7 证明，在Euclid空间中，第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值． 8 设{α1,α2 ,…,αn}和{β1,β2 ,…,βn}是n维Euclid空间V的两个标准正交基．证明：

1)存在V的一个正交变换σ，使σ(αi)=βi，i=1，2，…，n．

2)若V的一个正交变换τ，使得τ(α1)= β1，则τ(α2)，…，τ(αn)所生成的子空间与由β2，…，βn所生成的子空间重合．

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课外建议 结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议。 习题课14 对偶空间与双线性函数（2学时）

教学目的 通过教学实践，增进学生对对偶空间、双线性函数的概念及其基本特类的认识，初步理解一般向量空间的度量方法。

基础提要 略述（类似习题课一的处理） 课堂练习：

1 设V是数域F上向量空间．在V *中定义乘法运算如下：

( f g )(α)=f(α)g(α)，?α∈V．

证明，若f g=0，则f =0或g=0．

2 设? 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明： 1)对于f ∈V*，有f?∈V *；

2)定义V*到自身的一个映射?*：f ?f?，则?*是V*上的线性变换；

3)设α1，…，αn是V的一个基，f1，…，fn是它的对偶基，并且?在α1，…，αn下的矩阵为A．则?*在f1，…，fn下的矩阵为A?．

3 设V是数域F上的向量空间，f1，…，fs∈V*，证明：

1)W={α∈V | fi(α)=0，i=1，…，s}是V的一个子空间，叫做线性函数f1，…，fs的零化子空间；

2)若V是有限维的，则V的任一子空间都是某些线性函数的零化子空间． 4 证明，Mn(F)上的双线性函数f (A，B)=TrAB是非退化的．

5 设V是复数域上的n维向量空间，n≥2，并且f是V上的一个对称双线性函数．证明：

1)V中有非零向量α，使f(α,α)=0；

2)若f 是非退化的，则必有线性无关的向量α，β，使得f(α,β)=1，f(α,α)=f (β,

β)=0．

6 设f 是F上向量空间V的双线性函数．证明，f 是反对称的充分且必要条件为对任意α∈V，都有f (α，α)=0．

7 设(V，f )是数域F上的有限维正则的正交空间．σ是V上的一个正交变换．证明，若V的子空间W是σ的不变子空间，则W?也是σ－空间．

?0Ir?8 设A=?．证明，B是辛矩阵的充分且必要条件为B??A(B?1)?A ???Ir0?课外建议 结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议。

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