华东师大版数学八年级下册第19章 单元综合复习矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例 下载本文

矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例

矩形、菱形、正方形的判定和性质是初中数学中最重要的内容之一.在中考中所占的比例较大,常以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现. 现举几例供同学们参考. 一、矩形知识的应用

例1(甘肃白银7市课改)如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F,AB?2,BC?3,则图中阴影部分的面积为 .

分析:由四边形ABCD是矩形,利用矩形的对角线互相平分且相等可知,矩形中OA=OB=OD=OC,由三角形全等可求出阴影部分的面积.

解:∵矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. ∴OA=OB=OD=OC,AC=BD

∵?AOB??COD,?AOE??COF(SAS) ∴S?AOB?S?COD,S?AOE?S?COF ∴阴影部分的面积?AOEDCBF1?2?3?3 2点评:矩形是特殊的平行四边形,其特殊性表现在角上(四个角都是直角),两条对角线将矩形分成四个等腰三角形,从而可以计算阴影部分的面积.

二、菱形知识的应用

例2. (山东)如下图,菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=a,求:(1)∠ABC的度数;(2)已知AO?积.

分析: 因为E是AB的中点,且DE⊥AB可得等腰三角形ABD为等边三角形,这样菱形的4个内角都可求出,并且由特殊角的关系很容易求出AC的长和菱形面积.

解:(1)连结BD.在菱形ABCD中,

∵ DE⊥AB,E是AB的中点,∴ AB=AD=DB. ∴ △ABD为等边三角形.

1 / 4

3a,求对角线AC的长;(3)求菱形的面2

∴ ∠ABD=60° .

∴ ∠ABC=2∠ABD=120°.

(2)在菱形ABCD中 ,AC⊥BD,且AC与BD互相平分. 由(1)在Rt△ABO中,

?AO?3a 23a?3a 2 ?AC?2AO?2? (3)由(1)知BD?AB?a,

∴S菱形??32a. 211AC?BD??3a?a 22 点评:(1)本题首先证明△ABD是等边三角形,从而求出∠ABD的度数,再利用菱形的性质可求∠ABC.(2)求AC的长可利用菱形的对角线互相垂直平分(3)

1菱形的面积可用AC·BD求出,也可利用AB·DE求出. 本题应用了菱形的对角

2线互相垂直平分的性质,即可求出面积.

三、正方形知识的应用

例3(浙江台州)把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图).试问线段HG与线段HB相等吗?

请先观察猜想,然后再证明你的猜想.

分析:本题是将正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向进行旋转,画出正方形AEFG.构造全等三角形.

解:HG?HB. 证法1:连结AH,

D

G H

F

A

B E

2 / 4

D

G C H

F

A

B E

C

∵四边形ABCD,AEFG都是正方形.

??B??G?90°.

由题意知AG?AB,又AH?AH.

?Rt△AGH≌Rt△ABH(HL),

∴HG?HB. 证法2:连结GB.

∵四边形ABCD,AEFG都是正方形, ∴?ABC??AGF?90°. 由题意知AB?AG.

∴?AGB??ABG. ∴?HGB??HBG. ∴HG?HB.

点评:本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定,要证HG=HB,转化为证Rt△AGH≌Rt△ABH或?HGB??HBG即可.

练习:

1.如图,如果要使平行四边行ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是 .

2.如图,在梯形纸片ABCD中,AD//BC,AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在AD上的点C处,折痕DE交BC于点E,连结C′E.

求证:四边形CDC′E是菱形.

3.如图,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.

(1) 求证:BP=DP;

(2) 如图,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明;

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论 .

3 / 4