矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例

矩形、菱形、正方形的判定和性质是初中数学中最重要的内容之一.在中考中所占的比例较大，常以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现. 现举几例供同学们参考. 一、矩形知识的应用

例1(甘肃白银7市课改)如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB?2，BC?3，则图中阴影部分的面积为 .

分析：由四边形ABCD是矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等可知，矩形中OA=OB=OD=OC，由三角形全等可求出阴影部分的面积.

解：∵矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. ∴OA=OB=OD=OC，AC=BD

∵?AOB??COD,?AOE??COF(SAS) ∴S?AOB?S?COD,S?AOE?S?COF ∴阴影部分的面积?AOEDCBF1?2?3?3 2点评：矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上(四个角都是直角)，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，从而可以计算阴影部分的面积.

二、菱形知识的应用

例2. (山东)如下图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=a，求：(1)∠ABC的度数；(2)已知AO?积.

分析： 因为E是AB的中点，且DE⊥AB可得等腰三角形ABD为等边三角形，这样菱形的4个内角都可求出，并且由特殊角的关系很容易求出AC的长和菱形面积.

解：(1)连结BD.在菱形ABCD中，

∵ DE⊥AB，E是AB的中点，∴ AB=AD=DB. ∴ △ABD为等边三角形.

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3a，求对角线AC的长；(3)求菱形的面2

∴ ∠ABD=60° .

∴ ∠ABC=2∠ABD=120°.

(2)在菱形ABCD中 ，AC⊥BD，且AC与BD互相平分. 由(1)在Rt△ABO中，

?AO?3a 23a?3a 2 ?AC?2AO?2? (3)由(1)知BD?AB?a，

∴S菱形??32a. 211AC?BD??3a?a 22 点评：(1)本题首先证明△ABD是等边三角形，从而求出∠ABD的度数，再利用菱形的性质可求∠ABC.(2)求AC的长可利用菱形的对角线互相垂直平分(3)

1菱形的面积可用AC·BD求出，也可利用AB·DE求出. 本题应用了菱形的对角

2线互相垂直平分的性质，即可求出面积.

三、正方形知识的应用

例3(浙江台州)把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H(如图).试问线段HG与线段HB相等吗？

请先观察猜想，然后再证明你的猜想.

分析：本题是将正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向进行旋转，画出正方形AEFG.构造全等三角形.

解：HG?HB. 证法1：连结AH，

D

G H

F

A

B E

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D

G C H

F

A

B E

C

∵四边形ABCD，AEFG都是正方形.

??B??G?90°.

由题意知AG?AB，又AH?AH.

?Rt△AGH≌Rt△ABH(HL)，

∴HG?HB. 证法2：连结GB.

∵四边形ABCD，AEFG都是正方形， ∴?ABC??AGF?90°. 由题意知AB?AG.

∴?AGB??ABG. ∴?HGB??HBG. ∴HG?HB.

点评：本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定，要证HG=HB，转化为证Rt△AGH≌Rt△ABH或?HGB??HBG即可.

练习：

1.如图，如果要使平行四边行ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 .

2.如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E.

求证：四边形CDC′E是菱形.

3.如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.

(1) 求证：BP=DP；

(2) 如图，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

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