一、空间直角坐标系的建立的常见方法

运用“坐标法”解答空间几何体问题时，往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系，是解决问题的基础和关键．

一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 例1、在正方体ABCD－A′B′C′D′中，

点M是棱AA′的中点， 点O是对角线BD′的中点.

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线； （Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；w_w w. #s5_u.c o*m

例2、如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中， AB=1，AC?AA01?3，∠ABC=60.

(Ⅰ)证明：AB?AC1； （Ⅱ）求二面角A—AC1—B的大小。w.w.w..s.5.u.c.o.m

二、利用线面垂直关系建系

例3、已知三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

12AB，N为AB上一点，AB=4AN, M,S分别为PB,BC的中点. （Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

例4、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的

D?C?A?B?M?OD?CABA1 C1 B1 A C B

平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

例5、如图，在三棱锥P?ABC中，AC?BC?2，

?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求证：PC?AB；

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小； （Ⅲ）求点C到平面APB的距离．

例6、 如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，

AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点， EA⊥EB1．已知AB?2，BB1＝2，BC＝1，∠BCC?1＝3．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．

三、利用面面垂直关系建系

例7、如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．

z P y

x

A B C （1）证明AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

例8、在直三棱柱ABC?A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1，AC1的中点． （1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；

（2）设AA1?AD?C1的大小． 1?AC?2AB，求二面角A

例9、四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形， 侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°， AB＝2，BC=22，SA＝SB＝3。

(Ⅰ)证明：SA⊥BC；

(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；

例10、如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，

C D A S z O B y

x AC?BC，AA1?AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，

AE?3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角

A1?AC1?B1的大小．

四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系

例11 已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点， 正四棱锥底面边长为2a，高为h． （1）求∠DEB的余弦值；

（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．