不等式的基本知识

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：

(1)对称性：a?b?b?a (2)传递性：a?b,b?c?a?c (3)加法法则：a?b?a?c?b?c；a?b,c?d?a?c?b?d(同向可加) (4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc； a?b,c?0?ac?bc

a?b?0,c?d?0?ac?bd(同向同正可乘)

(5)倒数法则：a?b,ab?0?11? (6)乘方法则：a?b?0?an?bn(n?N*且n?1) ab(7)开方法则：a?b?0?na?nb(n?N*且n?1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集：

22设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则不等式的解的各种情况

22如下表：

2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如：?x?1??x?1??x?2??0

23

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0f(x) ?0??g(x)?g(x)?04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A

资料

若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 （四）基本不等式ab?a?b 21．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2．如果a,b是正数，那么

a?b?ab(当且仅当a?b时取\?\号). 22?a?b?变形： 有:a+b≥2ab；ab≤??,当且仅当a=b时取等号.

2??3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;

S2如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.

4注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，

资料

正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

224.常用不等式有：（1）a?b?a?b?ab?2(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c?

221?1abbb?m222R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）；（3）若a?b?0,m?0，则?（糖水的

aa?m浓度问题）。

不等式主要题型讲解

（一） 不等式与不等关系

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

1?a2?4a?21. 设a?2，p?a?，q?2，试比较p,q的大小

a?2

（二） 解不等式 题型三：解不等式

解不等式(x?1)(x?2)2?0。 3 .

5?x??1 2x?2x?3

2. 不等式ax2?bx?12?0的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=_____, b=_______

3. 关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式

题型四：恒成立问题

ax?b?0的解集为 x?24. 关于x的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________

5. 若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围.

6. 已知x?0,y?0且

19??1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 xy

资料

（三）基本不等式ab?a?b 2题型五：求最值

7. 求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

12x 2

（2）当时，求y?x(8?2x)的最大值。

x2?7x?10(x??1)的值域。 8. （耐克函数型）求y?x?1

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?9. （用耐克函数单调性）求函数y?

（1） 若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是 . （2） 已知x?0,y?0，且

（3） 已知x，y为正实数，且

1

（4） 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.

ab

资料

a的单调性。 xx2?5x?42的值域。

19??1，求x?y的最小值。 xyx 2＋

y 2

＝1，求x1＋y 2 的最大值. 2

题型六：利用基本不等式证明不等式

10. 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a

11. 已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求证：?

2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1??1???1???1??8 ?a??b??c?

（四）线性规划

题型八：目标函数求最值

?2x?y?3?0?12. 满足不等式组?7x?y?8?0，求目标函数k?3x?y的最大值

?x,y?0?

?x?0??3x?4y?4?y?022x?y?2x的最小值是 x,y?13. 已知满足约束条件： ,则

?x?2y?3?0?14. 已知变量x,y满足约束条件?x?3y?3?0.若目标函数z?ax?y（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，

?y?1?0?则a的取值范围为 。

?y?1，?15. 已知实数x，y满足?y?2x?1，如果目标函数z?x?y的最小值为?1，则实数m等于（ ）

?x?y?m．?

题型九：实际问题

某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售

价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

资料