第11讲 一元二次方程根的分布
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1．若关于x的方程x＋ax＋a－1＝0有且仅有一个实根，则实数a的值的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
2
2．若方程lgx＋(lg 5＋lg 7)lg x＋lg 5·lg 7＝0的两根是α，β，则α·β的值是( )
1
A．lg 5·lg 7 B．lg 35 C．35 D.
3522
3．已知x1，x2是关于x的方程x－(k－2)x＋(k＋3k＋5)＝0(k为实数)的两个实数根，22
则x1＋x2的最大值是( )
50
A．19 B．18 C. D．不存在
9
2
4．已知关于x的方程x＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．
2
5．已知m∈Z，关于x的一元二次方程x＋mx＋3＝0有两个实数根x1，x2，且0 2 6．关于x的一元二次方程5x－ax－1＝0有两个不同的实根，一根位于区间(－1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数a的取值范围为________． 2xx7．若关于x的方程2＋2a＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为____________． 2 8．(2016年广西柳州一中模拟)若关于x的方程x＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另一 b－2 个根在(1,2)内，则的取值范围是________． a－19．已知f(x)＝log4(4＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k的值； 4?x?(2)设g(x)＝log4?a·2－a?，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a3?? 的取值范围． 2 10．已知a是实数，函数f(x)＝2ax＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围． x 1 第11讲 一元二次方程根的分布 1．A 解析：设f(x)＝x＋ax＋a－1，则f(x)为偶函数?f(x)与x轴交于原点?a－1＝0?a＝±1，经检验a＝－1原方程有三个实数根，不合题意． 111 2．D 解析：由题意，得(lg x＋lg 5)(lg x＋lg 7)＝0，则α＝，β＝，α·β＝. 5735 222 3．B 解析：Δ＝(k－2)－4(k＋3k＋5)＝－3k－16k－16≥0，① 4 解①，得－4≤k≤－. 3 2 由韦达定理，得x1＋x2＝k－2，x1x2＝k＋3k＋5. 2222222 ∴x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝(k－2)－2(k＋3k＋5)＝－k－10k－6＝－(k＋5)＋19. 4???4?502 ∵k＝－5??－4，－?，设f(k)＝－(k＋5)＋19，则f(－4)＝18，f?－?＝<18. 3???3?922 ∴当k＝－4时，(x1＋x2)max＝18.故选B. 2 4．(－∞，1) 解析：设函数f(x)＝x＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1. 2 5．－4 解析：因为关于x的一元二次方程x＋mx＋3＝0有两个实数根x1，x2，且0 2 所以二次函数f(x)＝x＋mx＋3分别在(0,2)和(2,4)内各有一个零点． 所以? ?f???f4 2 2 2 ff， ?2m＋7<0，? ???m＋? m＋ ??2m＋7<0， ?? ?4m＋19>0，? 7 m<－，??2所以?19 m>－??4， 197 即－ 42 f－＝5＋a－1>0， ??f(0)＝－1<0，19 6．4 ??f＝20－2a－1>0. 2 解 19 得4 7．(－∞，2－2 2] 解析：方法一(换元法)，设t＝2(t＞0)，则原方程可变为t＋at＋a＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 2 令f(t)＝t＋at＋a＋1. ①若方程(*)有两个正实根t1，t2， Δ＝a－a＋?? 则?t1＋t2＝－a＞0，??t1·t2＝a＋1＞0， 2 x2 ， 解得－1＜a≤2－2 2. ②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)， 则f(0)＝a＋1＜0，解得a＜－1. 2 ③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)＝0且－＞0，解得a＝－1. 2 综上所述，a的取值范围是(－∞，2－2 2]． 2x2＋1 方法二(分离变量法)，由方程，解得a＝－x， 2＋1 x设t＝2(t＞0)， 2t2＋1?－1?则a＝－＝－?t＋? t＋1?t＋1? 2??＝2－?t＋＋，其中t＋1＞1， t＋1??? 2 由基本不等式，得(t＋1)＋≥2 2，当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－2 2. t＋1 af???1?2 8.?，1? 解析：令f(x)＝x＋ax＋2b.由题意，得?f?4???fb＞0，?? ?a＋2b＜－1，??a＋b＞－2. ＞0，＜0，＞0， 即 根据条件作出可行域如图D98， b－21 表示可行域内点与点(1,2)的连线的斜率，可知＜a－14 b－2 ＜1. a－1 图D98 ?4＋1?9．解：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝log4(4＋1)＋kx＝f(－x)＝log4?x?－kx，?4? xx1 解得k＝－. 2 1x(2)由(1)知，f(x)＝log4(4＋1)－x. 2 ?? 又f(x)＝g(x)，则? ?2－4?>0，a????3?? x4?xx?x4＋1＝2?2－?a， 3?? 4ax2xx所以(a－1)2－2－1＝0.记2＝t(t>0)， 3 4a2 则方程h(t)＝(a－1)t－t－1＝0有且只有一个正数根． 34 ①当a＝1时，h(t)＝－t－1＝0无正实根； 31623 ②当a≠1时，Δ＝a＋4(a－1)＝0，解得a＝，或a＝－3. 94 3