圆锥曲线解答题专练

x2a?y21、已知椭圆22b2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为2，P是椭圆上一点，

且?PF1F2面积的最大值等于2．(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过点M(0，2)作直线l与直线MF2垂直，试判断直线l与椭圆的位置关系。

(Ⅲ)直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。

2、已知动圆C与圆C1:(x?1)2?y2?1相外切，与圆C222:(x?1)?y?9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A． （I）求轨迹T的方程；

(Ⅱ)已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点（M、N不在x轴上）．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

3、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0,?1)，且其右焦点到直线

x?y?22?0的距离为3. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）设直线过定点Q(0,32)，与椭圆交于

两个不同的点M、N，且满足BM?BN．求直线的方程.

4、已知椭圆C：x2y22a2?b2?1?a?b?0?的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径

的圆与直线x?y?2?0相切. （1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A,B，设P为椭圆上一点，且满足???OA?????OB??tOP????（O为坐标原点），当???PA?????PB??253时，求实数t取值范围.

5、如图，A、B是椭圆y2x2a2?b2?1?a?b?0?的两个顶点，它的短轴长为1，其一个焦点与短轴

的两个端点构成正三角形.（I）求椭圆方程；

（II）若直线y?kx?k?0?与椭圆相交于R、S两点.求四边形ARBS面积的最大值.

6、已知椭圆C:x2y26a2?b2?1?a?b?0?的离心率为3，长轴长为23. （I）求椭圆的方程； （II）若直线y?kx?1交椭圆C于A、B两点，试问：在y轴正半轴上是

否存在一个定点M满足????2MN?????MB?，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

7、已知椭圆C：x2y23a2?b2?1?a?b?0?的离心率为2，且经过点A（0，?1）.

（I）求椭圆的方程；（II）若过点??3??0,5??的直线与椭圆交于M,N两点（M,N点与A点不重合），

求证：以MN为直径的圆恒过A点；

已知椭圆C：x2y28、2a2?b2?1(a?b?0)的离心率为2，左右焦点分别为F1，F2，抛物线

y2?42x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点． (I)求椭圆C的方程；

(II)已知圆M：x2?y2?23的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由。

1、

2、解析： （Ⅰ） CC1?r?1，CC2?3?r，∴CC1+CC2 = 4 ………2分 ∴点C的轨迹是以C1、C2为焦点（c=1），长轴长2a= 4的椭圆 ………………4分]

∴点C的轨迹T的方程是x24?y23?1……………………………………6分 （Ⅱ）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

将y?kx?m代入椭圆方程得：(4k2?3)x2?8kmx?4m2?12?0．

?x??8km4m2?121?x24k2?3,x1x2?4k2?3． （*式） ……………………………8分 ?MN为直径的圆过点A，A点的坐标为（2，0）

， ?????AM?????AN??0，即(x1?2)(x2?2)?y1y2?0． ……………………………10分

?y1?kx1?m，y2?kx2?m，y1y2?k2x1x2?(km?2)(x1?x2)?m2，

代入（*式）得：7m2?16km?4k2?0，

?mk??27或mk??2都满足??0， ……………………12分 由于直线l：y?kx?m与x轴的交点为（?mmk,0），当k??2时，直线l恒过定点(2,0)，不合

题意舍去，?m22k??7，直线l：y?k(x?7)恒过定点(27,0)．………………………13分

x2y23、【解析】(1)设椭圆方程为a2?b2?1(a?b?0)， 则b?1. ………………1分

令右焦点F(c,0)(c?0)， 则由条件得3?|c?0?22|，得c?2.…………3分

2a2?b2?c2?3,∴椭圆方程为x2那么3?y2?1.………4分

(2)若直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时M,N为椭圆的上下顶点，

BN?0,BM?2，不满足条件； ………………………………5分 故可设直线:y?kx?3x22(k?0),与椭圆

3?y2?1联立， 消去y得： ?1?3k2?x2?9kx?154?0.………………………………6分 由???9k?2?4?1?3k2??154?0，得k2?512. ………………7分

由韦达定理得xx9k9k21?2??1?3k2而y1?y2?k(x1?x2)?3???3 …………8分 ，1?3k2设M(x1,y1),N(x2,y2)的中点P(xx0,y0)，则x1?x20?,yy1?y220?2 由BN?BM，则有BP?MN.