第一章

计数原理

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原

理

课时过关·能力提升

基础巩固

1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5名同学只会用综合法证明,有3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为( )

A.8 答案:A 2.(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2+c3)完全展开后的项数为( ) A.9 答案:B 3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有( ) A.24种

B.18种

C.12种

D.6种

解析:种植黄瓜有3种不同的种法,其余两块地从余下的3种蔬菜中选2种种植有3×2=6种不同种法.由分步乘法原理知共有3×6=18种不同的种植方法.故选B. 答案:B 4.如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为( )

A.8

B.6

C.5

D.3

解析:从A处到B处的电路接通可分两步,第一步:前一个并联电路接通有2条线路,第二步:后一个并联电路接通有3条线路;由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为3×2=6,故选B. 答案:B B.12

C.18

D.24

解析:由分步乘法计数原理得,完全展开后的项数为2×2×3=12.

B.15

C.18

D.30

解析:共有5+3=8种不同的选法.

5.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19

B.20

C.21

D.22

解析:当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB≠0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D 6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A.81种 答案:A 7.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种

B.40种

C.20种

D.10种

解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10 种情况,假设A,B两人拿到自己的外衣,则C,D,E三人不能拿到自己的外衣,则只有C取D,D取E,E取C,或C取E,D取C,E取D两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×2=20种情况. 答案:C 8.若在登录某网站时弹出一个4位的验证码:XXXX(如2a8t),第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个,第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个,则这样的验证码共有 .

解析:要完成这件事可分四步:第一步,确定验证码的第一位,共有10种方法;第二步,确定验证码的第二位,共有26种方法;第三步,确定验证码的第三位,共有10种方法;第四步,确定验证码的第四位,共有26种方法.由分步乘法计数原理可得,这样的验证码共有10×26×10×26=67 600个. 答案:67 600个

B.12种

C.7种

D.256种

解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种.

9.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .

解析:由题图可知,从A到B有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:19 10.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有 种不同的传递方法.

解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:6 11.小张正在玩“开心农场”游戏,他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物),若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒,则不同的种植方案共有 种.

解析:当第一块地种茄子时,有4×3×2=24种不同的种法;当第一块地种辣椒时,有4×3×2=24种不同的种法,故共有48种不同的种植方案. 答案:48 12.有一项活动,需从3位老师、8名男同学和5名女同学中选人参加. (1)若只需1人参加,有多少种不同的选法?

(2)若需老师、男同学、女同学各1人参加,有多少种不同的选法? (3)若需1位老师、1名同学参加,有多少种不同的选法?

解:(1)选1人,可分三类:第一类,从老师中选1人,有3种不同的选法;第二类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;第三类,从女同学中选1人,有5种不同的选法.共有3+8+5=16种不同的选法.

(2)选老师、男同学、女同学各1人,则分3步进行:第一步,选老师,有3种不同的选法;第二步,选男同学,有8种不同的选法;第三步,选女同学,有5种不同的选法.共有3×8×5=120种不同的选法.

(3)选1位老师、1名同学,可分两步进行:第一步,选老师,有3种不同的选法;第二步,选同学,有8+5=13种不同的选法.共有3×13=39种不同的选法.

13.用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在①,②,③,④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.

(1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同方法? (2)若为乙着色时共有120种不同方法,求n.

解:完成着色这件事,共分四个步骤,可依次考虑为①,②,③,④着色时各自的方法数,再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数.

(1)为①着色有6种方法,为②着色有5种方法,为③着色有4种方法,为④着色也有4种方法. 所以共有着色方法6×5×4×4=480种.

(2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3),由n(n-1)(n-2)(n-3)=120,所以(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0.

即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0. 所以n2-3n-10=0,所以n=5.

能力提升

1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( )

A.12 答案:C 2.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( ) A.8 答案:C 3.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A.280种

B.240种

C.180种

D.96种

解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B. 答案:B 4.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A.360

B.240

C.120

D.60

解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C 5.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A.60

B.48

C.36

D.24

解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B. 答案:B B.15

C.35

D.53

解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法.

B.28

C.32

D.640

解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32.

6.如图,一环形花坛被分成A,B,C,D四个区域,现有4种不同的花可供选种,要求在每个区域里种1种花,且相邻的2个区域种不同的花,则不同种法的种数为( ) A.96

B.84

C.60

D.48

解析:当A,C区域种同样的花时,A,C区域有4种种法,B区域有3种种法,D区域有3种种法;当A,C区域种不同的花时,A区域有4种种法,C区域有3种种法,B区域有2种种法,D区域有2种种法.故一共有4×3×3+4×3×2×2=84种不同的种法. 答案:B