专题二 数列规范答题示范

【典例】 (12分)(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N). [信息提取]

?看到求等差数列{an}和等比数列{bn}的通项公式，想到利用基本量法分别求等差、等比数列的公差和公比；

?看到求数列{a2nbn}的前n项和，想到利用错位相减法求数列的前n项和. [规范解答]

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[高考状元满分心得]

?牢记等差、等比数列的相关公式：熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，解题时结合实际情况合理选择.如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式.

?注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上得出数列{a2nbn}，分析数列特征，想到用错位相减法求数列的前n项和. [解题程序]

第一步：利用基本量法求{bn}的通项；

第二步：由b3＝a4－2a1，S11＝11b4构建关于a1与d方程(组)，求an； 第三步：由第(1)问结论，表示出{a2nbn}的通项； 第四步：利用错位相减法求数列前n项和Tn. 第五步：反思检验，规范解题步骤.

【巩固提升】 (2018·德州二模)设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N. (1)证明：数列?＋1?为等比数列；

?n?

?Sn?

*

(2)记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn. (1)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，

2

所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)， 即(n－1)SSn－1

n＝2nSn－1＋n(n－1)，则Snn＝2×n－1

＋1， 所以Sn＋1＝2×?

n－1n?S?n－1＋1???

，又S11＋1＝2，

故数列??Sn＋1??n?

?是首项为2，公比为2的等比数列.

(2)解 由(1)知Sn＋1＝??S1

n?1＋1??n－1n?

·2＝2，

所以Snn＝n·2－n，

故T2

nn＝(1×2＋2×2＋…＋n·2)－(1＋2＋…＋n). 设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n， 则2M＝1×22

＋2×23＋…＋n·2n＋1

，

所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1

＝2n＋1

－2－n·2

n＋1

，所以M＝(n－1)·2

n＋1

＋2， 所以T＋2－n（n＋1）

n＝(n－1)·2

n＋1

2

.

3