2017-2018学年高中数学选修4-5教材用书:第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 2.基本 下载本文

2.基本不等式

1.基本不等式的理解

重要不等式a+b≥2ab和基本不等式

2

2

a+b2

≥ab,成立的条件是不同的.前者成立的

条件是 a与b都为实数,并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件;而后者成立的条件是a与b都为正实数,并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件,如a=0,

a+bb≥0仍然能使≥ab成立.

2

两个不等式中等号成立的充要条件都是a=b. 2.由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a+b≥(2)ab≤

2

2

a+b2;

2

a2+b2

2

(3)ab≤??a+b?2;

??2?

2

2

?a+b?2≤a+b; (4)??2?2?

(5)(a+b)≥4ab.

2

利用基本不等式证明不等式 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1. 111

求证:++≥9.

abc 解答本题可先利用1进行代换,再用基本不等式来证明. 法一:∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1, 111a+b+ca+b+ca+b+c∴++=++ abcabc=3++++++ bcacabaabbccba??ca??cb??=3+?+?+?+?+?+? ?ab??ac??bc?

≥3+2+2+2=9,

当且仅当a=b=c时,等号成立. 111

即++≥9.

abc法二:∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1, 111?111?∴++=(a+b+c)?++?

abc?abc?

=1++++1++++1

bcaaabcabbcc?ba??ca??cb?=3+?+?+?+?+?+?

?ab??ac??bc?

≥3+2+2+2=9,

当且仅当a=b=c时,等号成立. 111

∴++≥9.

abc

用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式进行证明.

x2x2x2231

1.已知x1,x2,x3为正实数,若x1+x2+x3=1,求证:++≥1.

x1x2x3

x2x2x2231

证明:因为x1,x2,x3为正实数,所以+x1++x2++x3≥2x2x2x22+23+21=2(x1

x1x2x3

+x2+x3)=2,当且仅当x1=x2=x3时,等号成立.

x2x2x2231

所以++≥1.

x1x2x3

a2b2c2

2.已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.

bcaa2b2c2

证明:∵a,b,c,,,均大于0,

bcaa2

又+b≥2 b2

2

a2b2

·b=2a,+c≥2 bc2

b2c2

·c=2b,+a≥2 cac2

·a=2c, a?a??b??c?∴?+b?+?+c?+?+a?≥2(a+b+c). ?b??c??a?

a2b2c2

即++≥a+b+c. bca

a2b2c2

当且仅当=b,=c,=a,即a=b=c时,等号成立.

bca 利用基本不等式求最值 (1)求当x>0时,f(x)=

2x的值域; x+1

23

(2)设0

219

(3)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.

xy 根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的条件,求最值. (1)∵x>0,∴f(x)=

2x2

=. x+11

x+

2

x111∵x+≥2,∴0<≤. x12

x+x∴0

(2)∵00.

2

2x的值域为(0,1]. x+1

2

?2x+

∴y=4x(3-2x)=2≤2??-2x?29

?=2. 2?

3

当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.

49

∴y=4x(3-2x)的最大值为. 219

(3)∵x>0,y>0,+=1,

xyy9x?19?∴x+y=?+?(x+y)=++10≥6+10=16.

?xy?

yxyy9x19

当且仅当=,又+=1,

xxy即x=4,y=12时,上式取等号.

故当x=4,y=12时,x+y的最小值为16.

在应用基本不等式求最值时, 分以下三步进行:

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值; (2)其次,看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取(-1)