指数函数与对数函数的关系

顾湜

一、教材分析： 1．地位与作用：

本课取自普通高中课程标准实验教科书数学1（必修?人民教育出版社B版）第三章第二节第三小节。

指数函数与对数函数的关系，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的。本教材淡化了求反函数的方法，强化了由指数函数与对数函数的关系理解和解释反函数概念的过程。本节属于独立的一节，但在对指数函数与对数函数性质的比较上,在对函数概念的进一步理解上都具有举足轻重的地位。

2．教学重难点：

（1）教学重点：对指数函数和对数函数性质关系的比较及对反函数概念的理解。

（2）教学难点：反函数的概念。 3．教学目标

（1）知识与技能

正确比较指数函数和对数函数性质关系，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解；明确指数函数与对数函数互为反函数；理解反函数的概念，掌握互为反函数图像之间的关系。

（2）过程与方法

从观察图像到引出概念，培养学生观察、分析、探究问题的能力、数形结合思想的运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。

（3）情感态度与价值观

引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系，并欣赏数形和谐的对称美。

4．学情分析

学生已经掌握了指数函数和对数函数的图像以及性质，这为学习指数函数与对数函数的关系打下了良好的基础。因此，学习过程中，根据指数函数与对数函数的图像，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

5．教学方法与手段 （1）教学方法

层层设问，启发思维，激发兴趣。采用以观察图形、发现问题、探究原因、归纳总结、巩固提高为线索的探究式教学方法。

（2）教学手段

采用多媒体辅助教学，突显数形结合思想。 二、教学设计 （一）课前准备

为学生展示雪花、彩虹、筷子、天安门的图片。

教师总结：无论是秀美的自然景观还是令人叹为观止的人文景观，都是生活中赋予人类的奇迹。

【设计意图】联系实际，激发学生的兴趣 （二）发现对称

1.要求学生发现上述图片的对称关系，进而引出数学中也存在很多对称关系，并要求学生说出数学中熟悉的对称关系。例如：二次函数关于对称轴成轴对称、偶函数关于y轴成轴对称、奇函数关于原点成中心对称。

【设计意图】培养学生的观察、归纳的能力，引导学生以发现、欣赏数学美的角度学习数学，提高学习兴趣。

12. 判断函数y?2x与y?()x、函数y?log2x与y?log1x的对称关系。

221学生回答y?2x与y?()x图像关于y轴对称，y?log2x与y?log1x图像关

22于x轴对称。

教师用几何画板为学生展示以上两对函数的图像。

【设计意图】既对所学知识做出总结，又自然引出新课题。

3. 作函数y?2x与y?log2x的图像，发现他们的对称关系。

要求学生在坐标纸上作出两个函数的图像，并利用投影仪投影学生作品，展示作品后给予学生鼓励。

学生发现这两个函数的图像关于直线y?x对称。

教师利用几何画板演示两个函数的准确图像，看出他们的对称关系。

【设计意图】亲自动手，体验成功的喜悦。引导学生反复观察，自觉运用数形结合思想，使学生逐一观察，细致对比，数形结合，发现对称。

1提问：函数y?2x与y?log2x关于直线y?x对称，那么函数y?与

2xy?log1x是否也具有这样的对称关系呢？函数y?ax与y?logax是否也具有

2呢？

1教师利用几何画板演示函数y?与y?log1x的图像，发现他们确实关于

22直线y?x对称，当a变化时，两个函数图像也关于直线y?x对称。

【设计意图】由特殊到一般，归纳结论。

（三）解释对称

引题：数学是严谨的，仅靠观察是不够的，得用严谨的数学语言证明。 1.明确关于直线y?x对称的点坐标具有什么关系。

教师通过几何画板演示使学生观察出关于y?x对称的点横纵坐标相反。 【设计意图】启发学生深入探究。

2.分析函数y?ax与y?logax的内在联系，并解释对称原因。

x教师要求学生自由讨论

【设计意图】由形的发现转入数的分析，是数形结合思想的重要体现，运用已有只是解释新问题，提高思维的深度。

教师总结：

x，y指对互化x，y位置互换y?ax??????x?logay??????y?logax

要求学生思考：两步交换顺序是否可以，即

x，y位置互换x，y指对互化y?ax??????x?ay??????y?logax

强调：先互化后互换与先互换后互化都可以解释对称，但本质原因是x，y互换。

结论：指数函数与对数函数的图像关于直线y?x对称。此时，指数函数叫做对数函数的反函数，对数函数也叫做指数函数的反函数。

【设计意图】由知其然到知其所以然，使学生体会思维的快乐。 （四）明确定义

1.引题：指数函数与对数函数之间的这种关系并不是他们所特有的，有大量的函数之间具有这样的关系，我们称他们互为反函数。

【设计意图】由特殊到一般，培养归纳概括能力。

2.反函数的定义：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。我们称这两个函数互为反函数。

函数f(x)的反函数通常用f?1(x)表示。

说明：（1）前提：一一映射

要求学生思考为什么一定是一一映射，并举出一些不是一一映射，既没有反函数的函数。如 y?x2

（2）本质：x，y互换 （3）记法：f?1(x)

（4）注意：f(x)与f?1(x)互为反函数

【设计意图】深化定义，使学生记忆理解。 3.举例

要求学生举出一些有反函数的函数，如：一次函数，反比例函数。 提问：函数y?5x是否有反函数？如果有，反函数是什么？

要求学生独立思考，并完成该提问。

板书、几何画板相结合给出答案，并在几何画板上直观观察两函数的图像，明确对称关系：