通过平面几何关系可得，第一部分矩形的面积S1满足：

2rAS1=2rA[LA?0.5(h1?h2)]?, （6）

22(h1?h2)?(2rA)

第二部分半椭圆的面积S2满足：

?(h2?h1)rAS2?, （7）

4

其中，rA为浮标的底面半径，h1,h2分别表示浮标两边的浸水长度，LA表示浮标的长度。

4.2.3钢管的平衡方程

通过分析可得，每节钢管的受力分析图如图7所示。

图7第i节钢管的受力分析图

根据平面力系平衡原理及力的平移定理(力矩平衡公式)，有如下方程： 水平方向力平衡方程

FBicos?Bi?FBi?1cos?Bi?1(i?1,2,3,4), （8）

竖直方向力平衡方程

FBisin?Bi?mBg?FBi?1sin?Bi?1?FbuoyantB(i?1,2,3,4), （9）

力矩平衡方程

11FBi?sin(?Bi??Bi)LB?FBi?1?sin(?Bi?1??Bi)LB(i?1,2,3,4). （10）

22在这儿，FbuoyantB为每节钢管所受浮力大小，满足

FbuoyantB??g?rB2LB, （11）

而FBi为第i节钢管下端所受拉力大小，mB为每节钢管的质量，g为重力加速度，?Bi是第i节钢管与水平方向的夹角（钢管的倾斜角度），?Bi是拉力FBi与水平方向的夹角，

9

rB为钢管的底面半径，LB为钢管的长度。 4.2.4钢桶系统的平衡方程 钢桶的受力分析如图8所示。

图8钢桶的受力分析图

根据平面力系平衡原理及力的平移定理(力矩平衡公式)，有如下方程： 水平方向力平衡方程

FCcos?C?FB4cos?B4, （12）竖直方向力平衡方程

FCsin?C?(mC?m)g?FB4sin?B4?FbuoyantC, （13）

力矩平衡方程

111FC?sin(?C??C)LC?FB4?sin(?B4??C)LC?mg?cos?CLC, （14）

222

在这儿，FbuoyantC为钢桶系统的浮力，有

FbuoyantC??g?rC2LC, （15）

而FB4表示钢管对钢桶拉力的大小，?B4表示钢管对钢桶拉力与水平方向的夹角，FC表示钢桶受下方锚链拉力的大小，?C表示FC与水平方向的夹角，mC表示钢桶的质量，m表示重物球的质量，rC表示钢桶的底面半径，LC表示钢桶的长度。

4.2.5锚链系统的平衡方程

由于锚链无档普通链环，我们可以将其看作无弹性悬垂线，这样可以将锚链视作柔性的。因此可用微元法的思想分析其受力平衡状态。

考虑锚链其中自上而下一小段弧长(s到s?ds)上的受力情况，如图9所示。

图9锚链微元的受力分析图

10

T图中ds表示取的任意一段小弧长，T表示上段锚链对所取小弧长的拉力，而T?d表示下段锚链对小弧长的拉力；?是拉力T与水平方向的夹角；??d?是拉力T?dT与水平方向的夹角。

根据这一弧长微元上的受力平衡，可得出以下方程： 水平方向上，有

Tcos??(T?dT)cos(??d?), （16）

竖直方向上，有

Tsin??(T?dT)sin(??d?)??Dds?g （17）

其中?D表示单位长度锚链的质量。 将其展开可得

?Tcos??Tcos?cosd??dTcos?cosd??Tsin?sind??dTsin?sind? （18） ?Tsin??Tsin?cosd??dTsin?cosd??Tcos?sind??dTcos?sind???ds?g?D(d?)3??可知，当角度变化d?很小时，忽略高阶无穷小由泰勒公式sind??d??3!的影响，故sind?近似等于d?，cosd?近似等于1，从而可得如下的近似方程：

?0?dTcos??Tsin?d??dTsin?d? （19） ??ds?g??dTsin??Tcos?d??dTcos?d??D忽略高阶无穷小dT?d?项，（其中dT?d?都为无穷小，故它们的乘积为高阶的无穷

小）对上式化简可得如下一阶非线性微分方程组：

?Dg?d???cos???dsT （20） ??dT???gsin?D??ds且有初值条件?(0)??C,T(0)?FC

4.2.6锚的平衡方程及平衡状态条件

锚的受力直接关系着最终是否达到平衡状态，其受力分析如图10所示：

图10锚的受力分析图

水平方向上，有

11

FDNcos?DN?Ff, （21）

在竖直方向上，有

FN?FDNsin?DN?GE?mEg, （22）

由于判断整个系统平衡的关键即对锚的水平拉力是否超过锚与海底之间的最大静摩擦力Fmax，即得到平衡状态的判断条件为

FDNcos?DN?Fmax. （23）

又由海水深度为18m，可知

4h1?h2H?sin?A??LBsin(?Bi)?LCsin?C?yD （24）

2i?1其中，H表示海水深度；

h1?h2sin?A表示浮标底面轴心到海平面的距离，h1,h2分24i?1别表示浮标两边浸入水中的长度，?A浮标的倾斜角度，?LBsin(?Bi)表示4个钢管在水中的高度和，LB表示每节钢管的长度，?Bi表示第i节钢管的倾斜角度；LC表示钢桶的长度，?C表示钢桶的倾斜角度，yD表示锚链竖直方向的高度。

4.2.7 游动区域的分析

经过分析和求解可以知道在平衡状态下的各个系统水平距离分别为： 浮标的水平距离

(h2?h1)2?(2rA)2h2?h1XA???, （25）

2222(h2?h1)?(2rA)h2?h1

钢管的水平距离

XB??LBicos?Bi, （26）

i?14钢桶的水平距离

XC?LC?cos?C, （27）

锚链的水平距离

XD???C?ND0?cos(??d?)dsd? （28）

s则整体的水平距离(游动半径)为

X?XA?XB?XC?XD （29）

4.3问题一模型的求解

4.3.1 模型的求解思路

通过对系泊系统各部分进行单独受力分析和力矩分析，得到了系统各处拉力大小及其倾角等未知量在平衡状态下的关系，由于方程数量较多，且相互影响，使得直接计算

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