非常复杂。因此我们首先考虑各方程之间的关系，得到未知量满足一定规律的递推公式，对问题进行系列简化，然后再采用搜索算法进行求解。 4.3.2方程的简化及递推公式的推导 4.3.2.1 锚链系统微分方程的转化

由于锚链是无档普通链环，实际中是环环相扣的离散系统，为了计算方便，我们首 先考虑对锚链系统对应的一阶非线性微分方程组(20式)进行转换[3]，由ds与水平方向及竖直方向上的位移之间的关系

dx?cos?ds,dy?sin?ds, （30）

可得链环连接处的受力大小及角度的递推公式

??FDj?1cos?Dj?1?FDjcos?Dj(j?1,2,?,N), （31） ?Fsin??Fsin??GDj?1DjDjDj??Dj?1其中，FD0表示链环上方第一段所受钢桶带来拉力的大小，?D0表示链环上方第一段所受钢桶带来拉力与水平方向的角度，由于其与链环对钢桶拉力FC互为反作用力，有

FD0?FC,?D0??C；FDj表示链环第j段(自上而下)下端所受拉力大小，?Dj表示链环第j段下端所受拉力与水平方向的夹角(j?1,2,?,N)，N为链环的段数。 4.3.2.2水平力平衡公式的推导及简化

整个系泊系统的每个部分均在两个水平力的作用下平衡，有

Fwind?FBicos?Bi?FCcos?C?FDjcos?Dj(i?1,2,3,4;j?1,2,?,N), （32）

其中风力Fwind由浮标两边的入水深度h1,h2决定。 4.3.2.3 竖直方向力平衡公式的推导及简化

由竖直方向上受力平衡可得到如下递推公式

FB0sin?B0?FbuoyantA?GA??kk?FBksin?Bk?FB0sin?B0?FbuoyantA?GA??FbuoyantBi??GBi(k?1,2,3,4)?i?1i?1?44（33）,?FCsin?C?FB0sin?B0?FbuoyantA?GA??FbuoyantBi??GBi?FbuoyangtC?GC?i?1i?1?44??FDksin?Dk?FB0sin?B0?FbuoyantA?GA??FbuoyantBi??GBi?FbuoyangtC?GC?kGD(k?1,2,?,N)i?1i?1?其中浮标的浮力FbuoyantA也由浮标两边的入水深度h1,h2决定。 4.3.2.4 系统各段所受拉力大小及其角度的计算公式

将各拉力竖直方向分力与水平分力相比，可得相应角度正切值tan?的计算公式如

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tan?B0?(FbuoyantA?GA)/Fwind??kk?tan?Bk?(FB0sin?B0?FbuoyantA?GA??FbuoyantBi??GBi)/Fwind(k?1,2,3,4)?i?1i?1?44（34）,?tan??(Fsin??F?G?F?G?F?G)/F??CB0B0buoyantAAbuoyantBiBibuoyangtCCwind?i?1i?1?44??tan?Dk?(FB0sin?B0?FbuoyantA?GA??FbuoyantBi??GBi?FbuoyangtC?GC?kGD)/Fwind(k?1,2,?,N)i?1i?1?从而可得平衡状态下依赖于h1,h2的各段拉力角度及大小的计算公式。 4.3.2.5各个部件在竖直方向的高度的计算

（1）找出浮标的竖直方向高度，这里记为HA(HA?QR)。如图所示：

图11. 浮标的竖直方向高度示意图

图中，h1?MN，h2?OP，HA?QR。 在直角?RMQ和直角?NKP中，因为

，所以这两个三角形另外两个角相等，即： ?RMQ??NP（同位角相等）KKP?RQM??KNP?arctan （35）

NK所以

h?hPKHA?RQ?QMcos?RQM?12cos(arctan()) （36）

2KN即:

rA(h1?h2) （37） HA?22(h1?h2)?(2rA)其中，rA表示浮标的半径,为1m。 （2）钢管的竖直方向高度，这里记为HBi。

根据浮标的平衡方程、水平方向的方程（FB0cos?B0?Fwind）和竖直方向的方程（FB0sin?B0?GA?FbuoyantA）相除得：

Fwind0.625?S(vwind)2 （38） cot?B0??FbuoyantA?GA?gVoverflowA?GA即可以求出?B0，这样再带入浮标水平方向平衡方程则可求出FB0。再把?B0和FB0的

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值带入钢管的平衡方程，我们可以求出钢管的FBi拉力及其倾斜角度?Bi和钢管的倾斜角： ?B，又可以根据钢管的几何关系（如图6所示）

iHB??HBi??lBisin(?Bi) （39）

ii44其中HB表示四根钢管的总高度，HBi表示第i节钢管的高度，?Bi表示第i节钢管的倾斜角度。

（3）钢桶的竖直方向高度，这里记为HC。

把上个环节的计算出来的结果带入钢桶系统的平衡方程，同样也可以计算出钢桶倾斜角度?C，锚链对钢桶的拉力FC及其方向（与X轴的夹角?C）。则可以得出钢桶高度的公式：

HC?lCsin?C （40）

其中lC为钢桶的长度，它是一个常数，大小为1m。 （4）钢桶的竖直方向高度，这里记为HD。

根据已求得的钢桶对锚链的拉力FC及其方向，把这对初始值带入锚链平衡微分方程，可解出函数关系。就可以表示出锚链的高度：

HD???DN?C?22.050ds?sin(??d?) （41）

其中，ds表示锚链一微段的长度，??d?表示那一微段的倾斜角度。 故整个系泊系统总高度为

H?HA?HB?HC?HD （42） 4.3.2.6吃水深度h1和h2的值范围的确定

根据题目可知浮标的高度为2m，则有：0?h1?2m，0?h2?2m，h2为较长的一条高。

只有当浮标在海水中时，浮标的重力与浮标的浮力二力平衡，即：

GA?g?VoverflowA （43）

可以计算出此时h1?h2?0.31m。那么可以进一步确定范围：

0.31?h1?h2?2， （44）

4.3.3 算法步骤 （1）给定一组浮标吃水深度值[h1,h2],，（得到0.31?h1?h2?2），可以依次计算得到H，

?D；

N（2）判断如果同时满足H?18??，（?取较小值，比如0.1）和0??DN?16两个条件，则输出结果，并停止计算；如果不满足，则取步长有h1?h1??h1,h2?h2??h2,并转到步骤（1）。

4.3.4 计算结果及分析

（1）当风速为12ms时，得到的结果如下表所示：

表1.风速为12ms时的求解结果 h1 h2 海水深度 锚链水平倾角 钢桶的倾角 所用无档链环个数 144 浮标的吃水深度 0.735m 0.68m 0.79m 17.9042m 3.4838° 1.0405° 钢管1的倾角 钢管2的倾角 钢管3的倾角 钢管4的倾角 游动区域半径 1.0086° 1.0146° 1.0206° 1.0267° 14.4429m 15

得到锚链的形状如图12所示：

图12. 风速为12ms时锚链的形状

以上求解得到的结果满足题目的要求，且所用的链环个数为144个，小于链的总个数，说明达到平衡时锚链并未完全绷紧。

（2）当风速为24ms时，得到的结果如下表所示：

表2. 风速为24ms时的求解结果 h1 h2 海水深度 锚链水平倾角 钢桶的倾角 所用无档链环个数 0.71m 0.79m 17.9117m 11.7855° 3.9299° 185 钢管1的倾角 钢管2的倾角 钢管3的倾角 钢管4的倾角 游动区域半径 浮标的吃水深度 3.814° 3.8356° 3.8575° 3.8797° 17.2252m 0.75m 得到锚链的形状如图13所示：

图13. 风速为24ms时锚链的形状

以上求解得到的结果满足题目的要求，且所用的链环个数为185个，小于链的总个数，说明达到平衡时锚链并未完全绷紧。 4.4问题2的模型分析与建立

4.4.1 风速为36ms时系泊状态及其分析

当风速达到36ms时，若不考虑角度的限制，可通过问题一的递推式及搜索算法求

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