2016年全国大学生数学建模大赛国家一等奖优秀论文,系泊系统的设计 下载本文

得如下结果:

表3. 风速为36ms时的求解结果 h1 h2 海水深度 锚链水平倾角 钢桶的倾角 所用无档链环个数 0.759m 0.7810m 17.7796m 17.7796° 8.1268° 210 钢管1的倾角 钢管2的倾角 钢管3的倾角 钢管4的倾角 游动区域半径 浮标的吃水深度 7.8999° 7.9424° 7.9853° 8.0287° 18.3712m 0.77m 得到锚链的形状如图14所示:

图14.风速为36ms时锚链的形状

此时,锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角为17.7796度,超过了16度,钢桶的倾斜角度(钢桶与竖直线的夹角)为8.1268度,超过5度,已经不能够达到平衡状态,因此需考虑调节重物球质量,使其重新达到平衡状态。 4.4.2 基于重物球质量的定常系统最优系泊模型

当风速达到36ms时,系泊系统已经不再满足角度的要求,从而不再处于平衡状态,因此我们考虑调整重物球质量。在此我们假设海水静止,考虑水平风速、水深、锚链型号、长度等均为定常数,基于重物球质量的选择,建立了单决策变量的多目标最优系泊模型。

4.4.2.1目标函数

(一)浮标的吃水深度尽可能小:

minmh; (45)

h1?h2,即浮标两边浸水长度的平均值; 2(二)游动区域尽可能小,即游动半径尽可能最小:

其中吃水深度h?minmX (46)

其中游动半径X?XA?XB?XC?XD(见29式); (三)钢桶的倾斜角度尽可能小;

minm?2??C (47)

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其中?C表示钢桶与水平面的夹角。

4.4.2.2 约束条件

(一)海水的深度约束,即平衡状态下整个系泊系统的竖直高度之和应等于水深H,有

4h1?h2sin?A??LBsin(?Bi)?LCsin?C?yD?H, (48) 2i其中

h1?h2sin?A表示浮标底面轴心到海平面的距离,h1,h2分别表示浮标两边浸入24i?1水中的长度,?A浮标的倾斜角度,?LBsin(?Bi)表示4个钢管在水中的高度和,LB表示每节钢管的长度,?Bi表示第i节钢管的倾斜角度;LC表示钢桶的长度,?C表示钢桶的倾斜角度,yD表示锚链竖直方向的高度。

(二)锚链底端拉力的夹角约束,即锚链在锚点与海床的夹角不超过16度,有

?(s)??D??max, (49)

N由问题1可知,T,?,s满足如下微分方程组

其中?DN?d??Dg?cos???dsT, (50) ?dT???Dgsin??ds?表示锚链在锚点与海床的夹角,?max表示使得锚不滑动时,锚链在锚点与

海床的最大夹角。

(三)平衡约束条件,即达到系统各部分力和力矩平衡的各等式约束条件,包括式?

综上:我们建立了基于重物球质量的多目标最优系泊模型如下

minh;minX;(51)

?min??C;2

4h1?h2??H?2sin?A??LBsin(?Bi)?LCsin?C?yDi????? (52) max?DN??力及力矩平衡约束条件(1)-(23)

4.5问题2 的模型求解 4.5.1多目标的转换

对于问题2,这是一个多目标的优化问题,不能够直接进行求解,需要把多目标转化为单目标进行求解。具体方法为:

先计算单目标

?min??C(53)

2

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4h1?h2??H?2sin?A??LBsin(?Bi)?LCsin?C?yDi????? (54) max?DN??力及力矩平衡约束条件(1)-(23)?得到倾角的最优值?* ,再将?*??5作为约束条件加入到优化问题里面,这样

2问题转化为双目标优化问题。

minh;(55)

minX;

4h1?h2??H?2sin?A??LBsin(?Bi)?LCsin?C?yDi???DN??max (56)???*???5?2 ??力及力矩平衡约束条件(1)-(23) 再考虑吃水深度的优化,利用类似的方法得到其最优值作为约束条件,即:

minX;(57)

4h1?h2??H?2sin?A??LBsin(?Bi)?LCsin?C?yDi???DN??max? (58)?*????5??*2 ?h?h?2?力及力矩平衡约束条件(1)-(23)?4.5.2 可行解的范围

因为该问所给的风速变大,在初始的条件下不能再得到可行解了。所以这里除了给定h1、h2的值,还需要给定重物球的质量。在问题一种重力球质量为1200kg已经不能满足题目要求,所以重物球的重力应该满足:GC1?12000N。为了找到重物球重力的上限,首先假设只有重物球的重力作用,且浮标完全淹没在水中。此时,对浮标进行受力分析,得到的受力分析图如图15所示:

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图15.浮标的受力分析图

根据受力分析,当浮标处于平衡状态时有:

FbuyantA?GA?GC1 (59) 其中,FbuoyantA??gVoverflowA; 由于浮标完全被淹没,所以有:

VoverflowA??rA2lA?6.28m3

则:

FbuoyantA?63082.6N

此时,因此设定重物球重力的取值范围是12000N?GC1?53082.6N。GC1?53082.6N。当重物球重力的值接近上限值时,浮标接近被完全淹没,此时浮标受风吹的面积小,即风力小,整个系统在水平方向只受风力和锚上的摩擦力的作用,且这两个力是一对平衡力,当风力较小时,系统将不会在水平方向上移动,当浮标完全沉没时,系统将完全不在水平方向移动,这时钢桶倾斜角度达到最小为0度,锚链处于松弛状态,且此时为平衡状态。

4.5.3问题2 的具体算法步骤

求解的基本思路同问题一是类似的,还是采用搜索算法。但是由于变量个数增加了一个,搜索的范围和计算量将大大增加,如果还采用问题一的定步长搜索的话,计算时间和结果可能难以保证。故采用变步长搜索算法,具体步骤为:

(1)在搜索参数的有效范围内,给定一个较大的步长?G,?h1,?h2(比如[5,0.1,0.1]),与问题一的求解方法一样,得到对应的H,?DN;

(2)判断如果同时满足条件H?18??,(?取较小值,比如0.1)和0??DN?16,

?; 则输出结果并结束计算;如果不满足,则记下最接近判断条件的一组G?,h1?,h2?为新的初始点,?(3)以G?,h1?,h2选定一个较小的步长?G?,?h1?,?h2(比如[1,0.01,0.01]),

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