第一章 质点运动学

1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3．试求： （1）第2s内的位移和平均速度；

（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程； （3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．

[解答]（1）质点在第1s末的位置为：x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．

在第2s末的位置为：x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)． 在第2s内的位移大小为：Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，

经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为：v=Δx/Δt = 4(m·s-1)． （2）质点的瞬时速度大小为：v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，

因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，

v(2) = 12×2 - 6×22 = 0

质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m． （3）质点的瞬时加速度大小为：a(t) = dv/dt = 12 - 12t，

因此1s末的瞬时加速度为：a(1) = 12 - 12×1 = 0，

第2s内的平均加速度为：a= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2)．

[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．

1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为a?2(n?1)s，并由上述数据求出量值．

(n?1)t2[证明]依题意得vt = nvo，根据速度公式vt = vo + at，得

a = (n – 1)vo/t， (1)

根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得 a = (n2 – 1)vo2/2s，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：a?计算得加速度为：a?2(n?1)s．

(n?1)t22(5?1)30= 0.4(m·s-2)． 2(5?1)10

1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m·s-2．问：

（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？

（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ 22.5o [解答]方法一：分步法．

70m （1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为

图1.3 vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1)．

取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式

vt - v0 = at，

这里的v0就是vy0，a = -g；当人达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为

t1 = vy0/g = 2.49(s)．

再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：vt2 - v02 = 2as， 可得上升的最大高度为：h1 = vy02/2g = 30.94(m)．

人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h2 = h1 + h = 100.94(m)． 根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为:t2?因此人飞越的时间为：t = t1 + t2 = 6.98(s)． 人飞越的水平速度为;vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1)，

2h2= 4.49(s)． g所以矿坑的宽度为：x = vx0t = 419.19(m)．

（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：vy = gt = 69.8(m·s-1)， 落地速度为：v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(m·s-1)， 与水平方向的夹角为：θ = arctan(vy/vx) = 49.30o，方向斜向下．

方法二：一步法．

取向上为正，人在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程

12gt?v0sin?t?y?0， 2解得：t?(v0sin??v0sin??2gy)g．

这里y = -70m，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t = 6.98(s)．

由此可以求解其他问题．

1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数．

（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为（2）试证在时间t内，船行驶的距离为x?2211??kt； vv01ln(v0kt?1)． kvtdvdv[证明]（1）分离变量得2??kdt， 故 ?2??k?dt，

vvv0011??kt． vv0v0（2）公式可化为v?，

1?v0ktv01由于v = dx/dt，所以：dx?dt?d(1?v0kt)

1?v0ktk(1?v0kt)可得：

积分

1d(1?v0kt)．

k(1?v0kt)001因此 x?ln(v0kt?1)． 证毕．

kxt?dx??[讨论]当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma． 由于a = d2x/dt2， 而 dx/dt = v， a = dv/dt， 分离变量得方程：dt?mdv， f(v)解方程即可求解．

在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则 dv/dt = -kvn． （1）如果n = 1，则得

dv??kdt， v积分得lnv = -kt + C．当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0， 因此lnv/v0 = -kt，

得速度为 ：v = v0e-kt． 而dv = v0e-ktdt，积分得：x?v0?kte?C`． ?k当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此x?1?nv0(1-e?kt)． kR （2）如果n≠1，则得

vdv??kdt??kt?C． ，积分得vn1?n1?nv011?C，因此n?1?n?1?(n?1)kt． 当t = 0时，v = v0，所以

1?nvv0 A 图1.7 如果n = 2，就是本题的结果．

n?1{[1?(n?1)v0kt](n?2)/(n?1)?1}如果n≠2，可得x?，读者不妨自证． n?2(n?2)v0k

1．5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求： （1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；

（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？ [解答]（1）角速度为ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1)，

法向加速度为 an = rω2 = 230.4(m·s-2)； 角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2)， 切向加速度为 at = rβ = 4.8(m·s-2)． （2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，

当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即an?at3． 由此得r?2?r?3，即 (12t2)2?24t3， 解得 t?3/6．

所以 ??2?4t3?2(1?3/3)=3.154(rad)．

（3）当at = an时，可得rβ = rω2， 即： 24t = (12t2)2，

解得 ： t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．

1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，

3此后飞机的加速度为a = 203m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？

y [解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为

v0x = v0cosθ， a ay v0y = v0sinθ． O α ax θ v0x 加速度的大小为ax = acosα， ay = asinα． x v0y v 12120 运动方程为x?v0xt?axt， y??v0yt?ayt．

22

s?t?即 x?v0co?1aco?s?2t， 21y??v0sin??t?asin??t2．

22v0sin??103(s)．

asin?令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t = 0（舍去）；t?将t代入x的方程求得x = 9000m．

[注意]选择不同的坐标系，如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．

1．7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt = 2.0s内下降的距离h = 0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．

[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．由于h?所以at = 2h/Δt2 = 0.2(m·s-2)．

物体下降3s末的速度为v = att = 0.6(m·s-1)，

1at?t2， 2v2这也是边缘的线速度，因此法向加速度为an?= 0.36(m·s-2)．

R

1．8 一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：

（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；

（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．

[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为

1h1?v0t?at2；

2螺帽做竖直上抛运动，位移为h2?v0t?由题意得h = h1 - h2，所以h?12gt． 21(a?g)t2， 2解得时间为t?2h/(a?g)= 0.705(s)．

算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．

[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程

h = (a + g)t2/2，

由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．

1．9 有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变．

2l； vt0（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为t1?；

1?u2/v2t0（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为t2?．

221?u/v（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为t0?[证明]（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v． （2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u， 所以飞行时间为t1?ll2vlt0??2 ?2l2/v2?． 222v?uv?uv?u1?u/v1?u/vA

v

v B

（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机

沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为V?v?u，所以飞行时间为

22 v + u A v - u

v A

B u

t2?2l2l2l/vt0 ?． 证毕． ??222222Vv?u1?u/v1?u/v

1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？

???[解答]雨对地的速度v2等于雨对车的速度v3加车对地的速度v1，由此可作矢量三角形．根据题意得

B u v