x2y22xy[解答]（1）根据公式：2?2?cos???sin2??，

A1A2A1A2其中位相差为：Δθ = θ2 – θ1 = -π/2，

x2y2??1． 所以质点运动的轨道方程为：

0.0820.062（2）合振动的轨迹是椭圆．

（3）两个振动的圆频率是相同的ω = π/3，质点在x方向所受的力为

?d2x2??m?0.08cos(?t?)， Fx?max?m26dt即 Fx = 0.035cos(πt/3 + π/6)(N)．

在y方向所受的力为

y F x b=0.06 F θ Fy O a=0.08 x d2yπFy?may?m2??m?20.06cos(?t?)，

3dt即 Fy = 0.026cos(πt/3 - π/3)(N)．

???22用矢量表示就是F?Fxi+Fyj，其大小为F?Fx?Fy，

与x轴的夹角为θ = arctan(Fy/Fx)．

4．18 将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率．

ν`2 ν`1 [解答]标准音叉的频率为v0 = 384(Hz)，

Δν Δν 拍频为Δv = 3.0(Hz)， ν2 ν0 ν1 待测音叉的固有频率可能是v1 = v0 - Δv = 381(Hz)， ν 也可能是v2 = v0 + Δv = 387(Hz)．

2

在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于ω = k/m，可知其频率将减小．如果待测音叉的固有频率v1，加一小块物体后，其频率v`1将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率v2，即387Hz．

4．19 示波器的电子束受到两个互相垂直的电场作用．电子在两个方向上的位移分别为x = Acosωt和y = Acos(ωt +θ)．求在θ = 0，θ = 30o，及θ = 90o这三种情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程．

x2y22xy[解答]根据公式2?2?cos???sin2??，

A1A2A1A2其中Δθ = θ2 – θ1 = -π/2，而θ1 = 0，θ2 = θ．

O y x x2y22xy（1）当Δθ = θ = 0时，可得2?2?2?0，

AAA质点运动的轨道方程为y = x，轨迹是一条直线．

（2）当Δθ = θ = 30o时，可得质点的轨道方程

y O x xy2xy31???， 222AAA242即 x2?y2?3xy?A，轨迹是倾斜的椭圆． /4（3）当Δθ = θ = 90o时，可得

22 y 即 x2 + y2 = A2，质点运动的轨迹为圆．

4．20 三个同方向、同频率的简谐振动为

xy??1， A2A222O x ??5?x1?0.08cos(314t?)，x2?0.08cos(314t?)，x3?0.08cos(314t?)．

626求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式； （2）合振动由初始位置运动到x?[解答] 合振动的圆频率为：ω = 314 = 100π(rad?s-1)． 设A0 = 0.08，根据公式得：

Ax = A1cosθ1 + A2cosθ2 + A3cosθ3 = 0，

Ay = A1sinθ1 + A2sinθ2 + A3sinθ3 = 2A0 = 0.16(m)， 振幅为：A?合振动的方程为：x = 0.16cos(100πt + π/2)．

2． A所需最短时间（A为合振动振幅）

22Ax2?Ay= 0.16(m)，初位相为： θ = arctan(Ay/Ax) = π/2．

（2）当x?2A/2时，可得：cos(100?t??/2)?2/2，

解得：100πt + π/2 = π/4或7π/4．

由于t > 0，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = 0.0125s．

第五章 机械波

5．1 已知一波的波动方程为y = 5×10-2sin(10πt – 0.6x) (m)． （1）求波长、频率、波速及传播方向；

（2）说明x = 0时波动方程的意义，并作图表示． [解答（]1）与标准波动方程y?Acos(?t?2?x?)比较得：2π/λ

y/cm = 0.6， 5 因此波长为：λ = 10.47(m)；圆频率为：ω = 10π， -1t/s 频率为：v =ω/2π = 5(Hz)；波速为：u = λ/T = λv = 52.36(m·s)．

0.1 0 0.2 0.3 且传播方向为x轴正方向．

（2）当x = 0时波动方程就成为该处质点的振动方程： -2-2y = 5×10sin10πt = 5×10cos(10πt – π/2)， 振动曲线如图．

5．2 一平面简谐波在媒质中以速度为u = 0.2m·s-1沿x轴正向传播，已知波线上A点（xA = 0.05m）的振动方程为yA?0.03cos(4?t?振动方程．

[解答]（1）简谐波的波动方程为：y?Acos[?(t?即 y?0.03cos[4?(t??2)(m)．试求：（1）简谐波的波动方程；（2）x = -0.05m处质点P处的

x?xA)??]； ux?0.05?)?]= 0.03cos[4π(t – 5x) + π/2]． 0.22（2）在x = -0.05m处质点P点的振动方程为：y = 0.03cos[4πt + π + π/2] = 0.03cos(4πt - π/2)．

?25．3 已知平面波波源的振动表达式为y0?6.0?10sin?2t(m)．求距波源5m处质点的振动方程和

该质点与波源的位相差．设波速为2m·s-1．

?2[解答]振动方程为：y?6.0?10sin?x(t?) ?0.06sin(?t?5?)， 2u24位相差为 Δθ = 5π/4(rad)．

5．4 有一沿x轴正向传播的平面波，其波速为u = 1m·s-1，波长λ = 0.04m，振幅A = 0.03m．若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻，试求：

（1）此平面波的波动方程；

（2）与波源相距x = 0.01m处质点的振动方程，该点初相是多少？ [解答]（1）设原点的振动方程为：y0 = Acos(ωt + θ)，其中A = 0.03m．

由于u = λ/T，所以质点振动的周期为：T = λ/u = 0.04(s)，圆频率为：ω = 2π/T = 50π． 当t = 0时，y0 = 0，因此cosθ = 0；由于质点速度小于零，所以θ = π/2． 原点的振动方程为：y0 = 0.03cos(50πt + π/2)， 平面波的波动方程为：

x?y?0.03cos[50?(t?)?]= 0.03cos[50π(t – x) + π/2)．

u2（2）与波源相距x = 0.01m处质点的振动方程为：

y = 0.03cos50πt． 该点初相θ = 0．

5．5 一列简谐波沿x轴正向传播，在t1 = 0s，t2 = 0.25s时刻的波形如图所示．试求： （1）P点的振动表达式； （2）波动方程；

y/m （3）画出O点的振动曲线．

t=0 t2=0.25 0.2 1[解答]（1）设P点的振动方程为

yP = Acos(ωt + θ)， x/m 其中A = 0.2m．

P O 在Δt = 0.25s内，波向右传播了

Δx = 0.45/3 = 0.15(m)，

0.45 所以波速为u = Δx/Δt = 0.6(m·s-1)．

波长为：λ = 4Δx = 0.6(m)， 图5.5 周期为：T = λ/u = 1(s)， 圆频率为：ω = 2π/T = 2π．

当t = 0时，yP = 0，因此cosθ = 0；

由于波沿x轴正向传播，所以P点在此时向上运动，速度大于零，所以θ = -π/2．

P点的振动表达式为：yP = 0.2cos(2πt - π/2)． （2）P点的位置是xP = 0.3m，所以波动方程为

y/m x?xP?0.2 y?0.2cos[2?(t?)?]

u2?0.2cos(2?t? （3）在x = 0处的振动方程为

y0 = 0.2cos(2πt + π/2)，曲线如图所示．

5．6 如图所示为一列沿x负向传播的平面谐波在t = T/4时的波形图，振幅A、波长λ以及周期T均已知．

（1）写出该波的波动方程；

y u （2）画出x = λ/2处质点的振动曲线；

A （3）图中波线上a和b两点的位相差θa – θb为多少？

[解答]（1）设此波的波动方程为： a txy?Acos[2?(?)??]，

T?y?Acos(2?xO 10??x?)． 32 O 0.5 1 t/s

图5.6 b x 当t = T/4时的波形方程为：

?x???)??Asin(2???)． ?2?在x = 0处y = 0，因此得sinθ = 0，

解得θ = 0或π．

而在x = λ/2处y = -A，所以θ = 0．

因此波动方程为：y?Acos2?(tx?)． T?（2）在x = λ/2处质点的振动方程为：y?Acos(2?曲线如图所示．

（3）xa = λ/4处的质点的振动方程为

tt??)??Acos2?， TTy ya?Acos(2?t??)； T2t?2?)． TA xb = λ处的质点的振动方程为

O t yb?Acos(2? 波线上a和b两点的位相差

θa – θb = -3π/2．

5．7 已知波的波动方程为y = Acosπ(4t – 2x)（SI）．（1）写出t = 4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？（2）画出t = 4.2s时的波形曲线．

[解答]波的波动方程可化为：y = Acos2π(2t – x)，

y txu 与标准方程y?Acos[2?(?)??]比较

t=0 t=4.2s T?A ， -1

可知：周期为T = 0.5s，波长λ = 1m．波速为u = λ/T = 2m·s．

O （1）当t = 4.2s时的波形方程为 1 0.5 y = Acos(2πx – 16.8π)= Acos(2πx – 0.8π)． 令y = A，则cos(2πx – 0.8π) = 1，

因此 2πx – 0.8π = 2kπ，(k = 0, ±1, ±2,…)， 各波峰的位置为x = k + 0.4，(k = 0, ±1, ±2,…)．

当k = 0时的波峰离原点最近，最近为：x = 0.4(m)．

通过原点时经过的时间为：Δt = Δx/u = (0 – x)/u = -0.2(s)， 即：该波峰0.2s之前通过了原点．

（2）t = 0时刻的波形曲线如实线所示．经过t = 4s时，也就是经过8个周期，波形曲线是重合的；再经Δt = 0.2s，波形向右移动Δx = uΔt = 0.4m，因此t = 4.2s时的波形曲线如虚线所示．

[注意]各波峰的位置也可以由cos(2πx – 16.8π) = 1解得，结果为x = k + 8.4，(k = 0, ±1, ±2,…)， 取同一整数k值，波峰的位置不同．当k = -8时的波峰离原点最近，最近为x = 0.4m．

5．8 一简谐波沿x轴正向传播，波长λ = 4m，周期T = 4s，已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示． （1）写出时x = 0处质点的振动方程； y/m （2）写出波的表达式；

1 （3）画出t = 1s时刻的波形曲线．

0.5 [解答]波速为u = λ/T = 1(m·s-1)．

（1）设x = 0处的质点的振动方程为

O t/s y = Acos(ωt + θ)，

其中A = 1m，ω = 2π/T = π/2． -1 当t = 0时，y = 0.5，因此cosθ = 0.5，θ = ±π/3．

图5.8 在0时刻的曲线上作一切线，可知该时刻的速度小于零，因此

θ = π/3．

振动方程为：y = cos(πt/2 + π/3)．

（2）波的表达式为：y?Acos[2?(x tx?)??] T?