物理练习册一答案 下载本文

x2y22xy[解答](1)根据公式:2?2?cos???sin2??,

A1A2A1A2其中位相差为:Δθ = θ2 – θ1 = -π/2,

x2y2??1. 所以质点运动的轨道方程为:

0.0820.062(2)合振动的轨迹是椭圆.

(3)两个振动的圆频率是相同的ω = π/3,质点在x方向所受的力为

?d2x2??m?0.08cos(?t?), Fx?max?m26dt即 Fx = 0.035cos(πt/3 + π/6)(N).

在y方向所受的力为

y F x b=0.06 F θ Fy O a=0.08 x d2yπFy?may?m2??m?20.06cos(?t?),

3dt即 Fy = 0.026cos(πt/3 - π/3)(N).

???22用矢量表示就是F?Fxi+Fyj,其大小为F?Fx?Fy,

与x轴的夹角为θ = arctan(Fy/Fx).

4.18 将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成,测得拍频为3.0Hz,在待测音叉的一端加上一小块物体,则拍频将减小,求待测音叉的固有频率.

ν`2 ν`1 [解答]标准音叉的频率为v0 = 384(Hz),

Δν Δν 拍频为Δv = 3.0(Hz), ν2 ν0 ν1 待测音叉的固有频率可能是v1 = v0 - Δv = 381(Hz), ν 也可能是v2 = v0 + Δv = 387(Hz).

2

在待测音叉上加一小块物体时,相当于弹簧振子增加了质量,由于ω = k/m,可知其频率将减小.如果待测音叉的固有频率v1,加一小块物体后,其频率v`1将更低,与标准音叉的拍频将增加;实际上拍频是减小的,所以待测音叉的固有频率v2,即387Hz.

4.19 示波器的电子束受到两个互相垂直的电场作用.电子在两个方向上的位移分别为x = Acosωt和y = Acos(ωt +θ).求在θ = 0,θ = 30o,及θ = 90o这三种情况下,电子在荧光屏上的轨迹方程.

x2y22xy[解答]根据公式2?2?cos???sin2??,

A1A2A1A2其中Δθ = θ2 – θ1 = -π/2,而θ1 = 0,θ2 = θ.

O y x x2y22xy(1)当Δθ = θ = 0时,可得2?2?2?0,

AAA质点运动的轨道方程为y = x,轨迹是一条直线.

(2)当Δθ = θ = 30o时,可得质点的轨道方程

y O x xy2xy31???, 222AAA242即 x2?y2?3xy?A,轨迹是倾斜的椭圆. /4(3)当Δθ = θ = 90o时,可得

22 y 即 x2 + y2 = A2,质点运动的轨迹为圆.

4.20 三个同方向、同频率的简谐振动为

xy??1, A2A222O x ??5?x1?0.08cos(314t?),x2?0.08cos(314t?),x3?0.08cos(314t?).

626求:(1)合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式; (2)合振动由初始位置运动到x?[解答] 合振动的圆频率为:ω = 314 = 100π(rad?s-1). 设A0 = 0.08,根据公式得:

Ax = A1cosθ1 + A2cosθ2 + A3cosθ3 = 0,

Ay = A1sinθ1 + A2sinθ2 + A3sinθ3 = 2A0 = 0.16(m), 振幅为:A?合振动的方程为:x = 0.16cos(100πt + π/2).

2. A所需最短时间(A为合振动振幅)

22Ax2?Ay= 0.16(m),初位相为: θ = arctan(Ay/Ax) = π/2.

(2)当x?2A/2时,可得:cos(100?t??/2)?2/2,

解得:100πt + π/2 = π/4或7π/4.

由于t > 0,所以只能取第二个解,可得所需最短时间为t = 0.0125s.

第五章 机械波

5.1 已知一波的波动方程为y = 5×10-2sin(10πt – 0.6x) (m). (1)求波长、频率、波速及传播方向;

(2)说明x = 0时波动方程的意义,并作图表示. [解答(]1)与标准波动方程y?Acos(?t?2?x?)比较得:2π/λ

y/cm = 0.6, 5 因此波长为:λ = 10.47(m);圆频率为:ω = 10π, -1t/s 频率为:v =ω/2π = 5(Hz);波速为:u = λ/T = λv = 52.36(m·s).

0.1 0 0.2 0.3 且传播方向为x轴正方向.

(2)当x = 0时波动方程就成为该处质点的振动方程: -2-2y = 5×10sin10πt = 5×10cos(10πt – π/2), 振动曲线如图.

5.2 一平面简谐波在媒质中以速度为u = 0.2m·s-1沿x轴正向传播,已知波线上A点(xA = 0.05m)的振动方程为yA?0.03cos(4?t?振动方程.

[解答](1)简谐波的波动方程为:y?Acos[?(t?即 y?0.03cos[4?(t??2)(m).试求:(1)简谐波的波动方程;(2)x = -0.05m处质点P处的

x?xA)??]; ux?0.05?)?]= 0.03cos[4π(t – 5x) + π/2]. 0.22(2)在x = -0.05m处质点P点的振动方程为:y = 0.03cos[4πt + π + π/2] = 0.03cos(4πt - π/2).

?25.3 已知平面波波源的振动表达式为y0?6.0?10sin?2t(m).求距波源5m处质点的振动方程和

该质点与波源的位相差.设波速为2m·s-1.

?2[解答]振动方程为:y?6.0?10sin?x(t?) ?0.06sin(?t?5?), 2u24位相差为 Δθ = 5π/4(rad).

5.4 有一沿x轴正向传播的平面波,其波速为u = 1m·s-1,波长λ = 0.04m,振幅A = 0.03m.若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻,试求:

(1)此平面波的波动方程;

(2)与波源相距x = 0.01m处质点的振动方程,该点初相是多少? [解答](1)设原点的振动方程为:y0 = Acos(ωt + θ),其中A = 0.03m.

由于u = λ/T,所以质点振动的周期为:T = λ/u = 0.04(s),圆频率为:ω = 2π/T = 50π. 当t = 0时,y0 = 0,因此cosθ = 0;由于质点速度小于零,所以θ = π/2. 原点的振动方程为:y0 = 0.03cos(50πt + π/2), 平面波的波动方程为:

x?y?0.03cos[50?(t?)?]= 0.03cos[50π(t – x) + π/2).

u2(2)与波源相距x = 0.01m处质点的振动方程为:

y = 0.03cos50πt. 该点初相θ = 0.

5.5 一列简谐波沿x轴正向传播,在t1 = 0s,t2 = 0.25s时刻的波形如图所示.试求: (1)P点的振动表达式; (2)波动方程;

y/m (3)画出O点的振动曲线.

t=0 t2=0.25 0.2 1[解答](1)设P点的振动方程为

yP = Acos(ωt + θ), x/m 其中A = 0.2m.

P O 在Δt = 0.25s内,波向右传播了

Δx = 0.45/3 = 0.15(m),

0.45 所以波速为u = Δx/Δt = 0.6(m·s-1).

波长为:λ = 4Δx = 0.6(m), 图5.5 周期为:T = λ/u = 1(s), 圆频率为:ω = 2π/T = 2π.

当t = 0时,yP = 0,因此cosθ = 0;

由于波沿x轴正向传播,所以P点在此时向上运动,速度大于零,所以θ = -π/2.

P点的振动表达式为:yP = 0.2cos(2πt - π/2). (2)P点的位置是xP = 0.3m,所以波动方程为

y/m x?xP?0.2 y?0.2cos[2?(t?)?]

u2?0.2cos(2?t? (3)在x = 0处的振动方程为

y0 = 0.2cos(2πt + π/2),曲线如图所示.

5.6 如图所示为一列沿x负向传播的平面谐波在t = T/4时的波形图,振幅A、波长λ以及周期T均已知.

(1)写出该波的波动方程;

y u (2)画出x = λ/2处质点的振动曲线;

A (3)图中波线上a和b两点的位相差θa – θb为多少?

[解答](1)设此波的波动方程为: a txy?Acos[2?(?)??],

T?y?Acos(2?xO 10??x?). 32 O 0.5 1 t/s

图5.6 b x 当t = T/4时的波形方程为:

?x???)??Asin(2???). ?2?在x = 0处y = 0,因此得sinθ = 0,

解得θ = 0或π.

而在x = λ/2处y = -A,所以θ = 0.

因此波动方程为:y?Acos2?(tx?). T?(2)在x = λ/2处质点的振动方程为:y?Acos(2?曲线如图所示.

(3)xa = λ/4处的质点的振动方程为

tt??)??Acos2?, TTy ya?Acos(2?t??); T2t?2?). TA xb = λ处的质点的振动方程为

O t yb?Acos(2? 波线上a和b两点的位相差

θa – θb = -3π/2.

5.7 已知波的波动方程为y = Acosπ(4t – 2x)(SI).(1)写出t = 4.2s时各波峰位置的坐标表示式,并计算此时离原点最近的波峰的位置,该波峰何时通过原点?(2)画出t = 4.2s时的波形曲线.

[解答]波的波动方程可化为:y = Acos2π(2t – x),

y txu 与标准方程y?Acos[2?(?)??]比较

t=0 t=4.2s T?A , -1

可知:周期为T = 0.5s,波长λ = 1m.波速为u = λ/T = 2m·s.

O (1)当t = 4.2s时的波形方程为 1 0.5 y = Acos(2πx – 16.8π)= Acos(2πx – 0.8π). 令y = A,则cos(2πx – 0.8π) = 1,

因此 2πx – 0.8π = 2kπ,(k = 0, ±1, ±2,…), 各波峰的位置为x = k + 0.4,(k = 0, ±1, ±2,…).

当k = 0时的波峰离原点最近,最近为:x = 0.4(m).

通过原点时经过的时间为:Δt = Δx/u = (0 – x)/u = -0.2(s), 即:该波峰0.2s之前通过了原点.

(2)t = 0时刻的波形曲线如实线所示.经过t = 4s时,也就是经过8个周期,波形曲线是重合的;再经Δt = 0.2s,波形向右移动Δx = uΔt = 0.4m,因此t = 4.2s时的波形曲线如虚线所示.

[注意]各波峰的位置也可以由cos(2πx – 16.8π) = 1解得,结果为x = k + 8.4,(k = 0, ±1, ±2,…), 取同一整数k值,波峰的位置不同.当k = -8时的波峰离原点最近,最近为x = 0.4m.

5.8 一简谐波沿x轴正向传播,波长λ = 4m,周期T = 4s,已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示. (1)写出时x = 0处质点的振动方程; y/m (2)写出波的表达式;

1 (3)画出t = 1s时刻的波形曲线.

0.5 [解答]波速为u = λ/T = 1(m·s-1).

(1)设x = 0处的质点的振动方程为

O t/s y = Acos(ωt + θ),

其中A = 1m,ω = 2π/T = π/2. -1 当t = 0时,y = 0.5,因此cosθ = 0.5,θ = ±π/3.

图5.8 在0时刻的曲线上作一切线,可知该时刻的速度小于零,因此

θ = π/3.

振动方程为:y = cos(πt/2 + π/3).

(2)波的表达式为:y?Acos[2?(x tx?)??] T?