棒绕质心的转动惯量为Ic = ml2/12， 根据平行轴定理，棒绕O点为转动惯量为

I?Ic?md2 117?ml2?m(l)2?ml212448．

根据角动量守恒定律得mv0l/4 = Iω0，

所以角速度为

?0?mv0l/I?

1412v07l．

第三章 狭义相对论

3．1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？

[解答]地球的半径约为R = 6400千米 = 6.4×106(m)， 自转一圈的时间是T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s)， 赤道上钟的线速度为v = 2πR/T = 4.652×102(m·s-1)．

将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．

南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时．

方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时 Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．

B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为

?t??t`1?(v/c)2，

可求得B钟的本征时为

1v?t`??t1?(v/c)2?[1?()2]?t，

2c因此时间差为 ?t??t`?1v2()?t=1.898×105(s)． 2c在南极上看，赤道上的钟变慢了．

方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时 Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．

A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为

?t`??t1?(v/c)2，

可求得A钟的本征时为

1v?t??t`1?(v/c)2?[1?()2]?t`，

2c因此时间差为

t?(2) ?t`??1v2c?t=1.898×`105(s)．

在赤道上看，南极上的钟变慢了．

[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．

有人直接应用公式计算时间差

1?(v/c)1v1v?[1?()2]?t`??t`?()2?t`，

2c2c由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S系为准来

对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．

也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．

?t??t`??t`2??t`

?t`??t??t1?(v/c)2??t

1v1v?[1?()2]?t??t?()2?t

2c2c

3．2 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为?0?个以速度v行驶的火车上，使两镜面都与v垂直，两镜面中心的连线与v平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”η与η0的关系怎样？

[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，η0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间η是运动时，所以它们的关系为

???2L0．若将这个光钟横放在一c???01?(v/c)2．

3．3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？

[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式

?t`?即 5??t1?(v/c)422，

，

1?(v/c)可以求两系统的相对速度为 v = 3c/5．

在S`系中A和B两事件的空间距离为 Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．

3．4 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？

[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为lx = lcosθ和ly = lsinθ．

在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得

`lx?lx1?(v/c)2，

因此

tan?`?`ly`lx?tan?1?(v/c)2，

2?1/2可得夹角为?`?arctan{[1?(v/c)]

tan?}．

3．5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．

[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式

?x`??t`??x?v?t1?(v/c)1?(v/c)2，

?t??xv/c22． （1）

由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此

?x`??t`??x1?(v/c)??xv/c21?(v/c)22，

．（2）

由（2）之上式得它们的相对速度为

v?c1?(?x/?x`)2． （3）

将（2）之下式除以（2）之上式得

?t`v??2， ?x`c所以

?t`??1?x`?x221?()2??(?x`)?(?x)= -0.577×10-8(s)．

cc?x`[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如果在

S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式?x`??x1?(v/c)，计算它们的相对速度．

3．6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？

[解答]以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式

2x`?x?vt1?(v/c)2和t`?t?vx/c21?(v/c)2，

飞船上观察运动员的运动距离为

?x`??x?v?t1?(v/c)2?100?0.8c?101?0.82?≈-4×109(m)．

运动员运动的时间为

?t`??t?v?x/c21?(v/c)210?0.8?100/c≈16.67(s)．

0.6在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m．

3．7 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．

[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为

t?t?`2`1t2?t1?v(x2?x1)/c21?(v/c)2?8?4?0.8(40?20)/c≈6.67(s)．

0.6空间间隔为

`x2?x1`?x2?x1?v(t2?t1)1?(v/c)2?40?20?0.8c?(8?4)≈-1.6×109(m)．

0.6

3．8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？

[解答]在S系中的观测的杆长Δl = 10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S`，其长度是本征长度，根据尺缩效应?l??l`1?(v10/c)，可得杆的本征长度为

2?l`??l1?(v10/c)2?101?0.982= 50.25(m)．

另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20 = -0.8c．在S``系观察S`系的速度为

v12?0.98c?(?0.8c)v10?v20?= 0.99796c． 21?0.98(?0.8)1?v10v20/c在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度

?l``??l`1?(v12/c)2= 3.363(m)．

[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v10

表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．

3．9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？

[解答]两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式

?t??t`1?(v/c)22，可得时间间隔为?t`??t1?(v/c)= 4(s)．

3．10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．

y` [解答]方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在

S` y S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为 v=u x` 地球 ux = 0，uy = c．

S uy` 星光在S`系中的速度分量为 c θ` u?v-u `星光 x ux???u1?uxv/c2O 太阳x u?`yuy1?v2/c21?uxv/c2?c1?u/c?c?u ``2`22222 星光在S`系中的速度为u?ux?uy?c，即光速是不变的．

星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为

?`?arctanuu?arctan．

22u`yc?u方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x

轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为

`2u`y?c2?ux/?c2?u2，

从而可求出星光速度垂直地面的夹角为