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27.2.3 切线

第2课时 切线长定理及三角形的内切圆

知|识|目|标

1．经历折叠纸片的操作过程，归纳得出切线长定理并掌握切线长定理． 2．经历教材中“试一试”的实践操作，理解三角形的内切圆及相关知识．

目标一 能探索并掌握切线长定理

例1 教材补充例题 如图27－2－12，已知⊙O的切线PA，PB，A，B为切点，把⊙O沿着直线OP对折，你能发现什么？请证明你所发现的结论． 结论：PA＝________，∠OPA＝________.

图27－2－12

证明：如图27－2－13，连结OA，OB. ∵PA，PB与⊙O相切，A，B是切点， ∴OA⊥________，OB⊥________， 即∠OAP＝________＝90°.

∵__________________________， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(H.L.)，

∴PA＝________，∠OPA＝________． 图27－2－13 试用文字语言叙述你所发现的结论．

例2 高频考题 如图27－2－14，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠OAB＝30°. (1)求∠APB的度数；

(2)当OA＝3时，求AP的长．

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图27－2－14

【归纳总结】切线长定理中的基本图形：

如图27－2－15，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，此图形中含有：

图27－2－15

(1)两个等腰三角形 (△PAB，△OAB)；

(2)一条特殊的角平分线( OP平分 ∠APB和∠AOB); (3)三个垂直关系 (OA ⊥ PA, OB⊥PB，OP⊥AB)． 目标二 理解三角形的内切圆

例3 教材补充例题 如图27－2－16，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的( )

图27－2－16 A．三条中线的交点 B．三条高的交点

C．三条角平分线的交点

D．三条边的垂直平分线的交点

例4 教材补充例题 △ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.

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【归纳总结】三角形“四心”的区别：

外心 内心 重心 垂心 三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点 三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点 三角形三条中线的交点 三角形三条高的交点 提示：(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形某顶点的连线平分这个顶点处的内角；三角形的内心都在三角形内部．

(2)三角形的内切圆有且只有一个，而圆有无数个外切三角形．

1

(3)常用S△ABC＝(a＋b＋c)r(其中a，b，c为△ABC的三边长)求三角形的内切圆的半径r.

2(4)若△ABC为直角三角形(不妨设∠C＝90°)，则△ABC内切圆的半径r＝

a＋b－c2

或r＝

ab(其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边)．

a＋b＋c

知识点一 切线长及切线长定理

(1)圆的切线上某一点与________之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． (2)过圆外一点所画的圆的两条切线，________相等．这一点和圆心的连线平分____________________． 知识点二 三角形的内切圆

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