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回扣1 集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明

1．集合

(1)集合的运算性质

①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB. (2)子集、真子集个数计算公式

对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2,2－1,2－1,2－2.

(3)集合运算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解． 2．四种命题及其相互关系 (1)

nnnn

(2)互为逆否命题的两命题同真同假． 3．含有逻辑联结词的命题的真假

(1)命题p∨q：若p，q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．

(2)命题p∧q：若p，q中至少有一个为假，则命题为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．

(3)命题綈p：与命题p真假相反． 4．全称命题、特称(存在性)命题及其否定

(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题綈p：?x0∈M，綈p(x0)． (2)特称(存在性)命题p：?x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：?x∈M，綈p(x)． 5．充分条件与必要条件的三种判定方法

(1)定义法：正、反方向推理，若p?q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．

(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A?B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若AB，则

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A是B的充分不必要条件(B是A的必要不充分条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．

(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 6．一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．

7．一元二次不等式的恒成立问题

??a>0，

(1)ax＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是?

?Δ<0.?

2

??a<0，

(2)ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是?

?Δ<0.?

2

8．分式不等式

f?x?

>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； g?x?

?f?x?g?x?≥0?≤0?，?f?x?

≥0(≤0)??g?x???g?x?≠0.

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9．基本不等式 (1)

a＋b2

≥ab(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．

(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件． 10．线性规划

(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．

(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．

(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个． 11．推理

推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论． 合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程

实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程

实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论 12．证明方法

(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知． 推理模式 框图表示

Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一个明显成立的条件

(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知． 推理模式

框图表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q

(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)． (3)反证法

一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．

2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}．

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