则OQ??1(OP?OM)?(?72,?2) 2二、填空题
13、【答案】32 【解析】2a?b?10?(2a?b)?10?4?b?4bcos45?10?b?32 14、【答案】?22??1??【解析】因为向量b?(?a?b)，所以b?(?a?b)?0，???
315、【答案】6
xy【解析】若a?b,向量a=(x?1,2),b=(4,y)，所以
a?b?0，所以2x?y?2，由基本不等式得9?3?6
1 316. 【答案】2. 【解析】由ABAF?2,得ABAFcos?FAB?2,由矩形的性质,得AFcos?FAB=DF.
∵AB?2,∴2DF?2,∴DF?1.∴CF?2?1.
记AE和BF之间的夹角为?，?AEB??,?FBC??,则?????. 又∵BC?2，点E为BC的中点,∴BE?1. ∴AEBF=AEBFcos?=AEBFcos?????=AEBF?cos?cos??sin?sin??
=AEcos?BFcos??AEsin?BFsin?=BEBC?ABCF?1?2?2三、解答题
17. 解：(1)若a?b，则sin??cos??0 即tan???1 而??(?,)，所以???22?2?1?2. ????4
?(2)a?b?当???43?2(sin??cos?)?3?22sin(??)
4时，a?b的最大值为2?1
18、解：（1）
m?n?(cosx?1,sinx?3),
22由|m?n|?5得cosx?2cosx?1?sinx?23sinx?3?5 整理得cosx??3sinx 显然cosx?0 ∴tanx??3 3第6页
∵x?(0,?)，∴x?（2）
5? 6
m?n?(cosx?1,sinx?3),
∴f(x)?(m?n)?n＝(cosx?1,sinx?3)(1,3)?cosx?1?3sinx?3
＝2(?31sinx?cosx)?4＝2sin(x?)?4
622∵0?x?? ∴∴??6?x??6?7? 61???sin(x?)?1??1?2sin(x?)?2 266∴3?2sin(x??6)?4?6，即函数f(x)的值域为(3,6].
19、解：(1)∵a?b，∴3cos??sin??0，得tan??3，又??[0,?]，所以??(2)∵2a?b＝(2cos??3,2sin??1)，
π
； 3
?1?3π????8?8sin?所以2a?b?(2cosθ?3)?(2sinθ?1)?8?8sinθ?cosθθ???， ?2?23????222又∈[0，π]，∴??2ππ2ππ?3??[?,]，∴sin?????[?,1]， 3333?2?∴2a?b的最大值为16，∴2a?b的最大值为4，又2a?b?m恒成立，所以m?4。
?AB?BC20、解：(1)AD ?CD?(x?4,y?2)?BC//DA，∴x(2-y)-y(-x-4)=0
∴x+2y=0
(2)AC?(x?6,y?1)，BD?(x?2,y?3)
AC?BD?0?AC?BD，?,∴(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0
又∵x+2y=0,∴(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0
2
即y-2y-3=0，解得y=3或y=-1. 即BC?(?6,3)或(2，-1)
?|BC|?35或5
1
21、解 (1)设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，
3
2m
化简得(m－1)a＝(－t)b，
33
第7页
?
∵a与b不共线，∴?m
?3－t＝0
2
m－1＝03
???1
t＝?2.
3m＝，2
11
∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．
23
(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60°＝(1＋t2－t)|a|2.
13
∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.
2222. 解： （1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点OP?OA?AP
12112?OA?(OB?OA)，则OP?a?b，同理OQ?a?b， （2分）
33333所以 OP?OQ （4分） ?a? bAB的二等分点，则OA1?（2）层次1：设A1是
a?b； O 2B A1 P A Q AB的四等分点，则 设A1、A2、A3是
3?a?b?等等（结论2分,证明2分） OA1?OA2?OA3?2层次2：设A1,A2,,An?1是AB的n等分点，
则OAk?OAn?k?OA?OB等；（结论2分，证明4分） 层次3：设A1,A2,则?OA1?OA2?证：A1,A2,,An?1是AB的n等分点，
?OAn?1?n?1(a?b)； 2,An?1是线段AB的n(n?3)等分点，先证明这样一个基本结论:
OAk?OAn?k?OA?OB(1?k?n?1,n、k?N*).
由OAk=OA?AAk,OAn?k=OB?BAn?k,因为AAk和BAn?k是相反向量， 则AAk?BAn?k?0, 所以 OAk?OAn?k?OA?OB. 记S?OA1?OA2?OA3??OAn?2?OAn?1，S?OAn?1?OAn?2??OA2?OA1
相加得2S?(OA1?OAn?1)?(OA2?OAn?2)??(OAn?1?OA1)?(n?1)(OA?OB)
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?OA1?OA2?
?OAn?1?n?1(a?b) 2第9页