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小学奥数(知识点梳理)

前言

小学奥数知识点梳理,对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要,不过,对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象,为此,本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材,力图打破原有体系,重新整合划分,构建十七块体系(其第十七为解题方法汇集,可补充相应杂题),原则上简明扼要,努力刻画小学奥数知识的主树干。

概述

一、 计算

1. 四则混合运算繁分数

⑴ 运算顺序

⑵ 分数、小数混合运算技巧

一般而言:

① 加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式; ② 乘除运算中,统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2. 简便计算

⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序

① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质

④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数

形如:a1?b?a2?b?......?an?b?(a1?a2?......?an)?b

3. 估算

求某式的整数部分:扩缩法 4. 比较大小

① 通分

a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质

mnmmnn111??,则c>b>a.。形如:1?2?3,则1?2?3。

n1n2n3m1m2m3abc5. 定义新运算

6. 特殊数列求和

运用相关公式:

n?n?1? 2n?n?1??2n?1?222②1?2???n?

6①1?2?3?n?③an?n?n?1??n2?n ④1?2???n??1?2??n?3332n2?n?1??

42⑤abcabc?abc?1001?abc?7?11?13 ⑥a?b??a?b??a?b?

22⑦1+2+3+4…(n-1)+n+(n-1)+…4+3+2+1=n

2二、 数论

1. 奇偶性问题

奇?奇=偶 奇×奇=奇 奇?偶=奇 奇×偶=偶 偶?偶=偶 偶×偶=偶

2. 位值原则

形如:abc=100a+10b+c

3. 数的整除特征: 整除数 2 3 5 9 11 4和25 8和125 末尾是0、2、4、6、8 各数位上数字的和是3的倍数 末尾是0或5 各数位上数字的和是9的倍数 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数 末两位数是4(或25)的倍数 末三位数是8(或125)的倍数 特 征 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4. 整除性质 ① 如果c|a、c|b,那么c|(a?b)。 ② 如果bc|a,那么b|a,c|a。

③ 如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。 ④ 如果c|b,b|a,那么c|a.

⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

5. 带余除法

一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r

当r=0时,我们称a能被b整除。

当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r<b a=b×q+r 6. 唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即

n= p1a1× p2a2×...×pkak

7. 约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如n= p1

a1× p2

a2×...×pk

ak那么:

n的约数个数:d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和:(1+P1+P1+…p1

2a1)(1+P2+P2+…p2

2a2)…(1+Pk+Pk+…pk

2ak)

8. 同余定理

① 同余定义:若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m

同余,用式子表示为a≡b(mod m)

②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除。 ③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

9.完全平方数性质

①平方差: A-B=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B, A-B同奇偶性。

②约数:约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数。 ④平方和。

10.孙子定理(中国剩余定理) 11.辗转相除法

12.数论解题的常用方法:

枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

22三、 几何图形

1. 平面图形

⑴多边形的内角和

N边形的内角和=(N-2)×180° ⑵等积变形(位移、割补)