第三章 不等式

3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)

学习目标

1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念.

3.了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值.

合作学习

一、设计问题,创设情境

问题情境:在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题. 例如,某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品,两种产品所需配件、耗时、利润如下表:

产品 甲产品 乙产品 所需配件及数量 A配件4个 B配件4个 耗时(小时/件) 1 2 利润(万元/件) 2 3

该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,怎样安排生产才能使利润最大?

问题1:利润由哪些量来决定?有哪些数量关系? 根据这些数量关系,可以设出几个未知数? 请你用这些未知数,表达出问题中的数量关系.

问题2:有了上面的分析过程,这个实际问题可以转化为怎样的数学问题?

问题3:我们前面碰到过求最值的问题吗?一般方法有哪些?这个问题能转化为前面所学的函数问题吗?那么,怎样获取符合条件的x,y的值呢?

二、信息交流,揭示规律

问题4:若把不等式组改变为求z=2x+3y的最大值,这种方法还可以用吗?那样如何求解呢?

问题5:大家在刚才的代入法求解中,有没有发现点A(0,3),B(3,1)使得z=2x+3y都为9,也就是使2x+3y=9成立,你能用所学的知识解释这一现象吗?那么在平面区域内还有这样的点吗?点(4,1)会对应着类似的直线吗?

问题6:如何从几何角度认识z=2x+3y?它对应的图形是什么?有什么条件约束这组平行直线?那么,怎样求z的最大值呢?请大家自己探究一下.

三、运用规律,解决问题

【例题】设z=2x+y,式中变量x,y满足条件求z的最大值和最小值.

问题7:请大家反思一下,解答线性规划问题的一般步骤是什么.

四、变式训练,深化提高

变式训练1:设z=6x+10y,式中x,y满足条件求z的最大值和最小值.

变式训练2:请大家在上面的线性约束条件下,探究目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行域中的哪个点?

问题8:目标函数z=ax+by中,z与纵截距的关系主要由哪个字母决定?

问题9:刚才有的同学得出目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行域中的点C和点B,这是什么原因造成的呢?

五、反思小结,观点提炼

问题10:目标函数z=ax+by中有几个自变量?我们这节课学习的线性规划问题,体现了什

么数学思想?那么我们在四个步骤中应该注意什么问题?

参考答

案一、设计问题,创设情境

问题情境:

问题1:生产的甲、乙产品的数量.

等量关系:使用的A配件数量=甲产品数量×4; 使用的B配件数量=乙产品数量×4; 利润=2×甲产品数量+3×乙产品数量.

不等关系:生产甲产品总耗时+生产乙产品总耗时≤8; 使用的A配件数量≤16; 使用的B配件数量≤12;

甲、乙产品的数量都是自然数.

甲产品数量x、乙产品数量y、利润z. 即

问题2:已知实数x,y满足求z=2x+3y的最大值.

问题3:碰到过;用函数求最值、几何法求最值;不能,因为没有关于x,y的等式,不能消元;可以画出不等式组表示的平面区域,然后从中把符合条件的有限个点的坐标求出,代入z=2x+3y,通过比较求得最大值.

二、信息交流,揭示规律

学生探究1:画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示. 可以求得平面区域内满足x,y∈N的点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2).

将坐标代入,比较知道,当x=4,y=2时,z最大为14. 问题4:不能,点有无数个,不可能一一验证.

问题5:2x+3y=9表示一条直线,而点A(0,3),B(3,1)都在直线2x+3y=9上,所以都能使得2x+3y=9成立;有,如图所示的平面区域内位于线段AC上的所有的点,都使2x+3y=9,即z的值等于9;对应着直线2x+3y=11.

问题6:当z变化时,它表示一族平行直线.将z=2x+3y化为斜截式为y=-x+,所以直线的