知识框架

??数列?数列的分类??的概念?数列的通项公式?函数角度理解????数列的递推关系????等差数列的定义an?an?1?d(n?2)??????等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d??等差数列?????等差数列的求和公式Sn?n(a1?an(n?1)n)?na1?d?????22??等差数列的性质an?am?ap?aq(m?n?p?q)??两个基???等比数列的定义an?本数列??a?q(n?2)n??????1n?1??等比数列的通项公式?an?a1q数列???等比数列??a1?anq?a1(1?qn)(q?1)??????等比数列的求和公式S?n??1?q1?q????????na1(q?1)等比数列的性质anam?apaq(m?n?p?q)?????公式法????分组求和???错位相减求和?数列??求和?裂项求和???倒序相加求和??累加累积????归纳猜想证明??数列的应用???分期付款?其他

掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法 1、求通项公式

（1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数） 例1、 已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。

例1、解 ∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列

∴an=1+2（n-1） 即an=2n-1 例2、已知{a1n}满足an?1?2an，而a1?2，求an=？

（2）递推式为an+1=an+f（n）

例3、已知{an}中a1?12，a1n?1?an?4n2?1，求an. 解： 由已知可知a1n?1?an?11(2n?1)(2n?1)?2(2n?1?12n?1)

令n=1，2，?，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+?+（an-an-1）

a?a114n?3n1?2(1?2n?1)?4n?2

★ 说明 只要和f（1）+f（2）+?+f（n-1）是可求的，就可以由

an+1=an+f（n）以n=1，2，?，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）

例4、{an}中，a1?1，对于n＞1（n∈N）有an?3an?1?2，求an. 思路：设an?2?pan?1?qan,可以变形为：an?2??an?1??(an?1??an)，

解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）

因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4

n-1n-1 n-1

∴an+1-an=4·3 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3即 an=2·3-1 解法二： 上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，想

2n-2

a4-a3=4·3，?，an-an-1=4·3， 于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数）

求

an。

bn?1?bn?22(bn?bn?1) 由上题的解法，得：bn?3?2()n ∴33

an?bn1n1n?3()?2() n232

(6)递推式为Sn与an的关系式

(5)递推式为an?2?pan?1?qan

关系；

（2）试用n表示an。

∴

Sn?1?Sn?(a11n?an?1)?(2n?2?2n?1)

∴a?a1n?1n?an?1?2n?1 ∴

an?1?12a1n?2n 上式两边同乘以2n+1

得2n+1

an

n

n+1=2an+2则{2an}是公差为2的等差数列。

∴2n

an= 2+（n-1）·2=2n

数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果?an?等差，?bn?等比，那么?anbn?叫做差比数列）

即把每一项都乘以?bn?的公比q，向后错一项，再对应同次

项相减，转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于数列??1??a?和???1??n?an?1??a?（其中?an?等差） ?n?an?1??

可裂项为：

1a?1(1?1)，

n?an?1danan?11aa?1(an?1?an)

n?n?1d等差数列前n项和的最值问题：

1、若等差数列?an?的首项a1?0，公差d?0，则前n项和Sn有最大值。

（ⅰ）若已知通项a，则S?an?0nn最大??；

?an?1?0（ⅱ）若已知Sqn?pn2?qn，则当n取最靠近?2p的非零自然数时Sn最大；

2、若等差数列?an?的首项a1?0，公差d?0，则前n项和Sn有最小值 （ⅰ）若已知通项a?an?0n，则Sn最小??a；

?n?1?0（ⅱ）若已知Sqn?pn2?qn，则当n取最靠近?2p的非零自然数时Sn最小；

数列通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：