中小学教育教学资料
专题研究2数学归纳法
1
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()
2A．1B．2 C．3 D．0 答案 C
解析 边数最少的凸n边形是三角形．
2．(2017·山东德州一模)用数学归纳法证明1＋2＋2＋…＋2为()
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋2D．1＋2＋2＋2 答案 D
解析 当n＝1时，左边＝1＋2＋2＋2.故选D.
111127*
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N)成立，其初始值至少应取()
242n－164A．7 B．8 C．9 D．10 答案 B
11－
2n127111n
解析 1＋＋＋…＋＝>，整理得2>128，解得n>7.
242n－1164
1－2∴初始值至少应取8.
111*
4．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，那么f(n＋1)－f(n)等于()
233n－1A.C.
111
B.＋ 3n＋23n3n＋1
11111＋D.＋＋ 3n＋13n＋23n3n＋13n＋2
2
3
2
2
3
2
n＋2
＝2
n＋3
－1，在验证n＝1时，左边的式子
答案 D
5．用数学归纳法证明3A．56·3C．3
4k＋1
4k＋1
4n＋1
＋5
2n＋1
(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于3
4
4k＋1
4(k＋1)＋1
＋5
2(k＋1)＋1
可变形为()
＋25(3
4k＋1
＋5
4k＋1
2k＋1
)B．3·3
2k＋1
＋5·5
22k
＋5
2k＋1
D．25(3＋5)
答案 A
解析 因为要使用归纳假设，必须将3形为56·3
4k＋1
4(k＋1)＋1
＋5
2(k＋1)＋1
分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变
＋25(3
4k＋1
＋5
2k＋1
)．
中小学教育教学资料
1
6．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，
（n＋1）2推测cn＝__________． 答案
n＋2
n＋1
13
解析 c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，
42
114
c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，
493
1115
c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，
49164n＋2
故由归纳推理得cn＝. n＋1
7．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)＝anSn. (1)求S1，S2，S3；
(2)猜想Sn的表达式并证明．
123n
答案 (1)S1＝，S2＝，S3＝(2)Sn＝，证明略
234n＋1122
解析 (1)由(S1－1)＝S1，得S1＝；
222
由(S2－1)＝(S2－S1)S2，得S2＝；
332
由(S3－1)＝(S3－S2)S3，得S3＝. 4n
(2)猜想：Sn＝.
n＋1
证明：①当n＝1时，显然成立；
k*
②假设当n＝k(k≥1且k∈N)时，Sk＝成立．
k＋1则当n＝k＋1时，由(Sk＋1－1)＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝
2
2
11k＋1＝＝. 2－Skkk＋2
2－k＋1
从而n＝k＋1时，猜想也成立． 综合①②得结论成立．
8．已知函数f(x)＝x－sinx，数列{an}满足：0 解析 先用数学归纳法证明0 中小学教育教学资料 因为0 由①②可知，0 an＋1－an＝an－sinan－an＝－sinan<0， 所以an＋1 3211 9．(2018·保定模拟)已知f(x)＝x－x，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N＋，证明：an＜. 22n＋1答案 略 1 证明 (1)当n＝1时，0＜a1＜， 21 不等式an＜成立； n＋1 312111 因a2＝f(a1)＝－(a1－)＋≤<， 23663故n＝2时不等式也成立． 13211 (2)假设n＝k(k≥2)时，不等式ak＜成立，因为f(x)＝x－x的对称轴为x＝，知f(x)在(－∞，] k＋1233上为增函数，所以由ak＜ 111≤，得f(ak)＜f()． k＋13k＋1 131111k＋41 于是有ak＋1＜－·＋－＝－＜. k＋12（k＋1）2k＋2k＋2k＋22（k＋1）2（k＋2）k＋2所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 1 根据(1)、(2)可知，对任何n∈N＋，不等式an＜成立． n＋1 1 10．已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝an·(4－an)，(n∈N)． 2证明：an 证明 方法一：用数学归纳法证明： 13 (1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝， 22所以a0 中小学教育教学资料 (2)假设n＝k时命题成立，即ak－1 ＝ak－1(4－ak－1)－ak(4－ak) 221 ＝2(ak－1－ak)－(ak－1－ak)(ak－1＋ak) 21 ＝(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)． 2 而ak－1－ak<0，4－ak－1－ak>0，所以ak－ak＋1<0. 112 又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)]<2. 22所以n＝k＋1时命题成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N时有an 13 (1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝， 22所以0 (2)假设n＝k时有ak－1 1 令f(x)＝x(4－x)，f(x)在[0，2]上单调递增， 2所以由假设有f(ak－1) 111 即ak－1(4－ak－1) 11．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论； 1115(2)证明：＋＋…＋<. a1＋b1a2＋b2an＋bn12 答案 (1)a2＝6，a3＝12，a4＝20，b2＝9，b3＝16，b4＝25，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)，证明略(2)略 解析 (1)由条件得2bn＝an＋an＋1，an＋1＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1). 用数学归纳法证明： ①当n＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n＝k时，结论成立，即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1).那么当n＝k＋1时， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， 2 2 2 2 2 *