量子力学习题集及答案 下载本文

09光信息量子力学习题集

一、填空题

1. 2.

设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为( 6.125A )。

索末菲的量子化条件为( ?pdq?nh ),应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En?( n?? )。

3.

德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做的( 电 )子衍

??射实验所证实,德布罗意关系(公式)为( E??? )和( p??k )。

?4.

???r?=( 三维空间自由粒子的归一化波函数为?pp?r1? ), e3/2(2??)i???5.

???????r?d??( ?(p??p) )???p。 p??r?p?r?1*???(r)?(r)d?? ),??ep?p?(2??)3/2?i????????(r)?动量算符的归一化本征态?p( ??( ?(p??p) )。

6.

t=0时体系的状态为??x,0???0?x??2?2?x?,其中?n?x?为一维线性谐振子的定态波函数,则??x,t??( ?0(x)ei??t2?2?2(x)e5i??t22

)。

7.

按照量子力学理论,微观粒子的几率密度w=( ? ),几率流密度j=

i??*??????* )。 2??2???的设?(r)描写粒子的状态,?(r)是( 粒子的几率密度 ),在?(r)中F??dx?*?dx )平均值为F=( ?*F。

8.

????9.

波函数?和c?是描写( 同一 )状态,?ei?中的ei?称为( 相因子 ),。 ei?不影响波函数?的归一化,因为( ei??1 )

定态是指( 能量具有确定值 )的状态,束缚态是指(无穷远处波函数为

零)的状态。

EE?(x,t)??1(x)exp(?i1t)??2(x)exp(?i2t)是定态的条件是

??( E1?E2 ),这时几率密度和( 几率密度 )都与时间无关。 ( 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 )称为隧道效应。 ( 无穷远处波函数为零 )的状态称为束缚态,其能量一般为( 分立 )谱。

3.t=0时体系的状态为??x,0???0?x???3?x?,其中?n?x?为一维线性谐振

10. 11.

12. 13. 14.

15.

??3(x)e子的定态波函数,则??x,t??( ?0(x)e )。

粒子处在0?x?a的一维无限深势阱中,第一激发态的能量为

i??t2?7i?t2 1 / 13

22?2?2?2( ),第一激发态的波函数为( 。 sinx )2aa?a16.

基态是指( 能量最低 )的状态,写出一维线性谐振子的基态波函数:( N0e??17.

22x/2 )。

3一维线性谐振子的第一激发态的能量为( ?? )、第一激发态的波函数

2为( N12?xe??18. 19. 20. 21. 22.

22x/2 )。

( 对应于同一本征值的本征函数的数目 )称为简并度,不考虑电子自旋

时,氢原子的第n个能级的简并度为( n2 )。 一维无限深势阱第n个能级的简并度为( 1 ),不考虑电子自旋时,氢原

2子的第n个能级的简并度为( n )。

一维线性谐振子第n个能级的简并度为( 1 ),考虑电子自旋以后,氢原

2子的第n个能级的简并度为( 2n )。

氢原子的状态为R32(r)Y21(?,?),角动量平方是( 6?2 )、角动量z分量是( ? )。

?的定义是:对于两任意函数?和?, 等式厄密算符F??dx?(F??)*?dx )成立。 ( ??*F?23. 24.

25. 26.

27. 28.

力学量算符的本征值必为( 实数 ),力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必( 相互正交 )。

力学量算符的属于( 不同本征值 )的本征函数必相互( 正交 )。 量子力学中,力学量算符都是( 厄米 )算符,力学量算符的本征函数组成( 完全 )系。

?z=算符在其自身表象中的矩阵为( 对角 )矩阵,例如在?z表象中??10?( ?。 ?0?1?? )

???]=0,?存在组成?,G?,G?2,L?的如果[F则F( 完全 )系的共同本征态,LZ共同本征态是( Ylm(?,?) )。

?存在有组成( 完全 )系的共同本征态,则[F?]=( 0 )?,G?,G如果F, ?2,L?的共同本征态是( Y(?,?) )。 LlmZ对易子[dx? )?,L?]?( ?i?L,e]?( ex ),[L。 zyxdx? )?,L?]?( i?L?x]?( i? )?y]?( 0 ),[x,p,[L。 [x,pzxy29. 30. 31. 32.

d?x?x]?( 0 )?y]?( i? ),e]?( ?e?x )。[y,p,[y,p。

dx能量与时间的测不准关系是( ?E?t~? ),x和px的测不准关系是[?2( ?x??p? )。

4____2____2x33. 在一维情况下,若粒子处于状态?(x,t)中,则在动量表象中的波函数为

2 / 13

??C(p,t)?( ??(x,t)e??i?px?。 dx )

34.

35.

36. 37. 38. 39. 40.

?的本征态?(x)的迭加态?(x)?3?2(x)?4?4(x)一维线性谐振子处在Hn55?表象中一维线性谐振子的波函数为??=( (0,0,3/5,0,中,则在H-4/5,0,…) )。

斯特恩—革拉赫证实电子具有( 自旋 )角动量,它在任何方向上投影只

??能取两个值( )和( ? )。

22???????z )?x??y???y??x=( 2i?,S?S=( i?S )。 ??2,L?]=( 0 )?x??y???y??x=( 0 ),[L。 ?z?cos???cos2? )?在sz表象中,粒子处在自旋态???中,=( 。 sz?sin??2???cos??在?z表象中,粒子处在自旋态???。 ?sin???中,?x=( sin2? )?????01?2?1??在sz表象中,sx??,则在状态中,=( )。 ????sx????22?10?2?1?41. 全同性原理的内容是:( 在全同粒子组成的体系中,两全同粒子相互代换

不引起物理状态的改变 )。

42. 泡里原理的内容是:( 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 )。 43. 描写电子体系的波函数只能是( 反对称 )波函数,而电子体系的自

旋波函数则可以是( 对称 )或者(反对称)的。

44. 电子是( 费密 )子,服从( 费密-狄拉克 )统计,描写电子体系的波

函数只能是( 反对称 )波函数。

45. 描写玻色子体系的波函数只能是( 对称 )波函数,而玻色子体系的自旋

波函数则可以是( 对称 )或者( 反对称 )的。

46. 描写费密子体系的波函数只能是( 反对称 )波函数,而费密子体系的自

旋波函数则可以是( 对称 )或者( 反对称 )的。

47. 光子是( 玻色 )子,服从( 玻色-爱因斯坦 )统计,描写光子体系的

波函数只能是( 对称 )波函数。

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二、计算、证明题

?0,0?x?a1.粒子在一维势场U(x)??中运动,试从薛定谔方程出发求出

??,x?a,x?0?粒子的定态能级和归一化波函数.

解:当x?0,x?a,U??,?(0)?0

22?d???E???当0?x?a,H??E?. 22?dx 3 / 13