还原问题（二）
教学目标
倒推法解决问题．
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题． 2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题． 3. 培养学生“倒推”的思想．
知识点拨
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变
减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
例题精讲
模块一、单个变量的还原问题
【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二
1111口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时
4563瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法
??1??1??1??1??1??【解析】 最开始瓶子里有矿泉水：0.5???1????1????1????1????1????3（升）．
23456????????????【答案】3升
【例 2】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（ ）斗酒。
1
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级
【解析】 设李白壶中原有x斗酒，则三次经过店和花之后变为0
2?[2?(2x?1)?1]?1?0 8x?7?0
7x?8
7即壶中原有斗酒.
87【答案】斗
8
【例 3】 有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生
放开手，可以分成18个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_ _个小组．
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3题 【解析】 方法一：男生和女生放手分成18个组，说明有男生被计算18次，男生与男生放开手后分成的组数和
男生数相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则，原来有男生30人，被计算30?2=60（次），所以?60?18??2=21（次）分成了21组。
方法二：60名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有60对牵着的手，其中男生与女生牵手的有18对，假设男生与男生牵手的有x人，那么，参与围圈的男生一共有?2x?18??2?x?9人，所
以x?9?30，x?21．那么原来牵手的男生和男生放手，分成了21个小组．
【答案】21个小组
模块二、多个变量的还原问题
【例 4】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，
于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。这时四个组的书一样多。这说明甲组原来有书______ 本。
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书一样多，为280÷4=70，所以甲原
来有70-4=66本书
【答案】66本书
【例 5】 一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组先给乙组5只，
乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，所以这时
两组各有沙袋70只．解答时可以从70开始倒推．列表倒推如下：
解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所以应从两组各有沙袋70只开始倒推．
【答案】甲67，乙73
2
【巩固】 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出
与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28?2?14（棵），乙班有28?14?42（棵），如
果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树42?2?21（棵），甲班原有树14?21?35（棵）．列表倒推如下:
【答案】甲班原有树35棵，乙班原有树21棵
【例 6】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和
乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是
32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有32?2?16(个)棋子，而甲堆的棋子数是32?16?48(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．
乙堆棋子第三次移动后32甲堆棋子32÷2第二次移动后1632＋ 48÷2第一次移动后40＋ 1624＋ 2444÷2原有棋子20采用列表法非常清楚．
【答案】甲乙两堆棋子原来各有44个和20个
【巩固】 有一个两层书架，一共摆放224本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层现
有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整．若如此共进行了两轮调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放________本书,下层书架原来摆放________本书．
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第8题，可逆思想方法
3
【解析】 还原法
结果：上层 112 本；下层 112 本 上层 56 本；下层 168 本 上层 140 本；下层 84 本 上层 70 本；下层 154 本 上层 147 本；下层 77 本 【答案】上层147本，下层77本
【例 7】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三
人各有240元，三人原来各有存款多少元？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 甲：240?40?20?260（元）； 乙：240?40?30?70?160（元）；丙：240?30?20?70?300． 【答案】甲260元， 乙160元，丙300元
【巩固】 小巧、小亚、小红共有90个玻璃球，小巧给小亚6个，小亚给小红5个，小红给小巧8个，他们的
玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 由已知条件可知，小巧比原来多了2个，小亚比原来多了1个，小红少了3个，三人一样多时，都是
（个），所以小巧原来有30?2?28（个），小亚原来有30?1?29（个），小红原来有30?3?3390?3?30（个）．
【答案】所以小巧原来有28个，小亚原来有29个，小红原来有33个．
【例 8】 三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三
棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是36?3?12（只），第一棵树上的鸟，
先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：现在一样多的：36?3?12（只），第一棵树上的小鸟只数：12?10?4?6（只）或 12?(1?04?)（只）6，第二棵树上的小鸟只数：12?8?4?16（只）或12?(8?4)?16（只），第三棵树上的小鸟只数：12?10?8?14（只）或12?(10?8)?14（只）原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟． 【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟
【巩固】 三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一
棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 三棵树上的鸟同样多的只数：27?3?9（只），第一棵数上鸟的只数：9?4?2?7（只），第二棵数
上鸟的只数：9?2?3?10（只），第三棵数上鸟的只数：9?3?4?10（只），第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟． 【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟
【巩固】 3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里
取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?
4
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出
现在每个笼里的是78?3?26（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了26?8?34（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第2个笼子里有：26?6?8?24（只），第3个笼子里原有26?6?20（只）． 【答案】第1个笼子里原来养了34只，第2个笼子里有24只，第3个笼子里原有20只。
【巩固】 3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里
取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多．求3个笼子里原来各养了多少只兔子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出
现在每个笼里的兔子是36?3?12（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了12?8?20（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：12?6?6（只），第2个笼子里原有：36?20?6?10(只)． 【答案】第1个笼子里原来养了20只，第2个笼子里原有10只，第3个笼子里原有6只。
【例 9】 张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李
给赵16本，赵给张2本．这时4个人的本数相等．他们原来各有多少本？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的总
数没有变化，仍然是200本．后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是200?4?50(本)．
用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数． ⑴张原有读物的本数：50?13?2?61(本) ⑵王原有读物的本数：50?18?13?55(本) ⑶李原有读物的本数：50?16?18?48(本) ⑷赵原有读物的本数：50?2?16?36(本)
【答案】张原有读物61本，王原有读物55本，李原有读物48本，赵原有读物36本。
【例 10】 解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下
的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 由条件“后来又调进8人”和“这时第一队还有30人”，可知不调进8人有30?8?22(人)．由“又抽调剩
下的一半支援第四队”后还有22人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有22?2?44(人)；由“抽调35人支援第三队”后还有44人，可知之前有44?35?79(人)；由“从第一队抽调一半人支援第二队”后还有79人，可知第一队原有79?2?158(人)． 列式为：[(30?8)?2?35]?2?79?2?158(人)
还原问题有一个基本方法：列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。 【答案】158人
【例 11】 科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的9倍多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，
水星直径加上2000千米是火星直径，火星直径除以2减去500千米等于月亮的直径，月亮直径是3000千米.”请你算一算，地球的直径是多少？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 先求土星直径：[(3000?500)?2?2000]?24?120000(千米)
再求地球直径：(120000?4800)?9?12800(千米)，即：地球的直径是12800千米. 【答案】12800千米 5