【例 12】 有18块砖，哥哥和弟弟争着去搬．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟搬得太

多，就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少2块，从弟弟那儿拿走一半多2块，结果是爸爸比哥哥多搬了3块，哥哥比弟弟多搬了3块．问最初弟弟准备搬多少块?

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 先来看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少块砖．如果爸爸给弟弟3块，那么3个人搬的砖数就一

样多了，都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥搬了18?3?6(块)，弟弟搬了6?3?3(块)，爸爸搬了6?3?9(块)．爸爸从弟弟处搬了一半多2块，所以，爸爸从弟弟处搬之前，弟弟的砖数是（3?2）?2?10(块)，哥哥的砖数是18?10?8(块)；弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩下的砖数一样，是8块，所以，弟弟从哥哥处搬之前，哥哥的砖数是8?2?16(块)，那时，弟弟的砖数是18?16?2(块)；哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数一样，是2块．所以，哥哥从弟弟处搬之前，弟弟处的砖数是2?2?4(块)，那时，哥哥的砖数是18?4?14(块)．所以，最初，弟弟准备搬4块砖．即：

⑴最后，爸爸、哥哥和弟弟分别搬了多少块砖：哥哥：18?3?6(块)，爸爸：6?3?9(块)，弟弟：

6?3?3(块)

⑵爸爸从哥哥、弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：（6?2）?2?8(块)， 弟弟：（3?2）?2?10(块)

⑶弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：8?2?16(块)，弟弟：18?16?2(块) ⑷哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：弟弟：2?2?4(块)，哥哥：18?4?14(块) 【答案】4块

【巩固】 有砖26块，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟挑的太多，

就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块．问最初弟弟准备挑多少块？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是，弟弟是26?14?12（块），然后来（26?2）?2?14（块）

还原：⑴ 哥哥还给弟弟5块：哥哥是14?5?9（块），弟弟是12?5?17（块）；⑵ 弟弟把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9?9?18（块），弟弟是17?9?8（块）；⑶ 哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8?8?16（块）． 【答案】16块

【例 13】 口渴的三个和尚分别捧着一个水罐．最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝．于是，老

和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚．就这样，三人轮流谦让了一阵．结果太阳落山时，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐则装着20升水．请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 首先，因为每次分水都是全部平分给另外两个人，所以每次分完水以后分水的人自己一定没有水

了．于是太阳落山时老和尚、大和尚和小和尚分别有水10、0、20升．列表分析如下：

回到最后的状态，于是发现三个人的水量是循环变化的，一共只有这三种状态．又因为已知最初老和尚水最多，所以最初的状态与倒数第二次分水前相同．所以大和尚的水罐里最初有10升水．

【答案】10升

6

【例 14】 兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子的

一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同.问：兄弟三人的年龄各多少岁？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24?3?8(个)桔子.由此列

表逆推如下表：

由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁. 逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半

【答案】三个人的年龄依次为16，10，7岁

【例 15】 甲、乙、丙3人共有192张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那

么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相

同，即3人各有邮票：192?3?64（张）．第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票64?2?32（张），丙有邮票：64?32?96（张），依此类推，就可以推出答案了．最后相等时各有192?3?64（张），列表倒推如下：

【答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为88，56，48张

【巩固】 有甲、乙、丙三堆苹果共96个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再从

乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹果放

入甲堆中，这时三堆苹果数相等．原来甲堆有 个苹果，乙堆有 个苹果，丙对有 个苹果．

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，2年级，第12题，可逆思想方法 【解析】 如下表：

【答案】甲44，乙28，丙24

【例 16】 A、B、C、D、E、F、G七个人都各有一些珠子。从A开始依序进行以下操作，每次都分给其他

7

六个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当G操作后，每个人手中都恰好各有256颗珠子，请问D原先有多少颗珠子？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法，2008年，台湾，小学数学竞赛 【解析】 本题应该采用倒推法，我们用表格形象的表示、

于是D之前的珠子个数是114颗。本题没有要求求出全部七个人之前的珠子个数，所以也可以简化一下求解过程，因为最终结果D有256颗珠子，所以在G操作之前，D的珠子个数应该减半为128颗，在F操作前应该再减半为64颗，在E操作前应该再减半到32颗，在D操作前，其余所有人的珠子应该都只有操作后的一半，也就是其他所有人的珠子数目应该减半，也就是(256?7?32)?2?880，这些都是D分给他们的，所以在D操作前，D应该有880?32?912颗珠子，于是在C操作前，D的珠子应该减半到912?2?456，于是在B操作前，D的珠子数应该减半到456?2?228，于是在A操作前，D的珠子数目应该减半到228?2?114颗。也就是说D之前的珠子数目是114颗。

【答案】114颗

【例 17】 一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这

两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一

个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目．依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班．其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：

【答案】三个班原来各有图书78本，42本，24本

【巩固】 3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌．第一局，甲输给了乙和丙，

使他们每人的钱数都翻了一番．第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍．第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍．结果，这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的．细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元．你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法

8

【解析】 假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法．

从开始到最后甲的份数少了份，说明每份是元． （13?8）100?（13?8）?20所以刚开始时，甲有13?20?260(元)，乙有4?20?80(元)，丙有7?20?140(元)．

【答案】刚开始时甲有260元，乙有80元，丙有140元．

【巩固】 A、B、C三个油桶各盛油若干千克．第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的

油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克．问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法，第四届，小数报 【解析】 用“倒推法”列出下表，从表中可以看出：原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千

克．

【答案】原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克．

【巩固】 乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，

使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍．现在三人的糖豆一样多．如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51

粒，51?3?17，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆17?5?85（粒）． 【答案】85粒

【巩固】 甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使乙、丙的铜板数各

增加了1倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙，使甲、丙的铜板数各增加了1倍；丙把自己的铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板数各增加了1倍，这时三人铜板数都是8枚，原来每人各有几枚？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 甲13枚，乙7枚，丙4枚． 【答案】甲13枚，乙7枚，丙4枚

【例 18】 三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原

来的2倍与3倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加到3倍与2倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到2倍，这时三个容器中的水都为96毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答

9

【关键词】可逆思想方法 【解析】 可以列一个表，使每一步之间的关系一目了然，下列的表是从后面向前倒推的，具体的填法见下面

的解答。

先在第一行填上三个96，第二行的前2个数是96?2?48，第3个数是96?3?48?2?192，第三行的第1个数是48?3?16，第3个数是196?2?96，第2个数是48??48?16???192?96??176，第四行第2个数是176?2?88，第3个数是96?3?32，

第1个数是16??176?88???96?32??168，三个容器原来有水168毫升、88毫升、32毫升。

【答案】三个容器原来分别有水168毫升、88毫升、32毫升

【例 19】 某工厂有A、B、C、D、E五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把B车间工人的

1调入2111A车间，C车间工人的调入B车间，D车间工人的调入C车间，E车间工人的调入D车

463间．现在五个车间都是30人．原来每个车间各有多少人？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法，列表如下

所以原来A、B、C、D、E车间分别有11、38、33、32、36个工人．解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．

【答案】原来A、B、C、D、E车间分别有11、38、33、32、36个工人

【例 20】 老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均

数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159．如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数．请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 由于最后写到黑板上的数是其前两个数的平均数，且黑板上最后留下的这三个数之和为159，所以

写到黑板上的最后一个数是159?(2?1)?53．

假设剩下的两个数中靠前的一个是A，靠后的一个是106?A，那么可以依次推出： 第7个被擦掉的数是2(106?A)?A?212?3A， 第6个被擦掉的数是2A?(212?3A)?5A?212， 类似地，可以求出第5、4、3、2个被擦掉的数分别为636?11A、 21A?1060、2332?43A、85A?4452，最先被擦掉的数是2008?(2332?43A)?(85A?4452)?4128?42A， 由题意，以上这些数均为正整数．

由2332?43A?0及A为整数可以推出A≤54， 由85A?4452?0及A为整数可以推出A≥53， 另一方面，如果A?53，有2，与条件中最初三个整数不同这一条件矛盾，3324?3A85?44A5?253? 10