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第9讲 整数分拆

1.一般的有,把一个整数表示成两个数相加,当两个数相近或相等的时候,乘积最大.也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数.

2.一般的有,把自然数m分成n个自然数的和,使其乘积最大,则先把m进行对n的带余除法,表示成m=np+r,则分成r个(p+1),(n-r)个P. 3.把自然数S (S>1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个),则分开的数当中最多有两个2,其他的都是3,这样它们的乘积最大.

4.把自然数分成若干个互不相等的整数,则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式,当和等于原数则可以,若不然,比原数大多少除去等于它们差的那个自然数. 如果仅大于1,则除去2,再把最大的那个数加1.

5.若自然数N有k个大于1的奇约数,则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法.

即当有m个奇约数表示的乘积,则有奇约数2-1个奇约数. 6.共轭分拆.我们通过下面一个例子来说明共轭分拆:

m 如:10=4+2+2+1+1,我们画出示意图,我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得

到):,可以对应的写成5+3+l+1,也是等于10,即是10的另一种分拆方式.

我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆.

1.写出13=1+3+4+5的共轭分拆.

【分析与解】 画出示意图的共轭分拆.

,翻转得到,对应写为4+3+3+2+1=13,即为13=1+3+4+5

2.电视台要播出一部30集电视连续剧,若要每天安排播出的集数互不相等.则该电视连续剧最多可以播出几天?

【分析与解】 由于希望播出的天数尽可能地多,若要满足每天播出的集数互不相等的条件下,每天播出的集数应尽可能地少.

选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28,现在就可以播出7天,还剩下2集,由于已经有2集这种情况,就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加.即把30表示成: 30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8

1

即最多可以播出7天.

3.若干只同样的盒子排成一列,小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出,小明从每支盒子里取出一个小球,然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下.小聪回来,仔细查看,没有发现有人动过小球和盒子.问:一共有多少只盒子?

【分析与解】 设原来小球数最少的盒子里装有a只小球,现在增加了b只,由于小聪没有发现有人动过小球和盒子,这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子,而这只盒子里原来装有(a+1)个小球. 同样,现在另有一个盒子装有(a+1)个小球,这只盒子里原来装有(a+2)个小球.

类推,原来还有一只盒子装有(a+3)个小球,(a+4)个小球等等,故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数.

现在变成:将42分拆成若干个连续整数的和,一共有多少种分法,每一种分法有多少个加数? 因为42=6×7,故可以看成7个6的和,又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6,从而42=3+4+5+6+7+8+9,一共有7个加数;

又因为42=14×3,故可将42:13+14+15,一共有3个加数; 又因为42=21×2,故可将42=9+10+11+12,一共有4个加数.

所以原问题有三个解:一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子

4.机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色:

凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色,不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23可表示成两个不同合数15和8之和,23要染红色;1不能表示为两个不同合数之和,1染黄色).问:要染成红色的数由小到大数下去,第2000个数是多少?请说明理由.

【分析与解】 显然1要染黄色,2=1+1也要染黄色,

3=1+2,4=1+3=2+2,5=1+4=2+3,6=1+5=2+4=3+3,7=1+6=2+5=3+4,8=1+7=2+6=3+5=4+4,9=1+8=2+7=3+6=4+5,10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5,11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6. 可见,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11均应染成黄色. 下面统一观察其他自然数,说明其他自然数均要染成红色. 1)当n为大于等于10的偶数时,n=2k=4+2(k-2).

由于n≥10,所以k≥15,k-2≥3,2(k-2)与4均为合数,且不相等.于是,大于等于10的偶数都可以表示两个不同的合数之和,应染成红色.

2)当n为大于等于13的奇数时,n=2k+1=9+2(k-4).

由于n≥13,所以k≥6,k-4≥2,2(k-2)≥4与9均是合数,且不相等.也就是说,大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和,应染红色.

所以,除了1,2,3,4,5,6,7,8,9,11这10个数染黄色外,其余自然数均染红色,第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k≥2).

所以第2000个染红色的数是2000+10=2010.

5.在整数中,有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法.例如9:9=4+5,9=2+3+4,9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法. (1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数.

2

(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数.

【分析与解】 关于某整数,它的“奇数的约数的个数减1”,就是用连续的整数的和的形式来表达 种数.

根据(1)知道,有3种表达方法,于是奇约数的个数为3+1=4,对4分解质因数4=2×2,最小的15(1、3、5、15);

有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

根据(2)知道,有6种表示方法,于是奇数约数的个数为6+1=7,最小为729(1、3、9、27、81、243、729),有连续的2,3、6、9、10、27个数相加:

364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40.

6.从整数1开始不改变顺序的相加,中途分为两组,使每组的和相等.如从1到3的话,1+2=3;从1到20的话:1+2+3+…+14=15+16+17+…+20.

请问:除上述两例外,能够列出这样的最短的整数算式是从1到几?

【分析与解】 我们用这种阶梯图来表示连续的数相加,假设情况见下图,

我们通过图得知,c是公共部分,而b+c为原等式的右边,a +c为原等式的左边,所以有a=b,a部分面积为加到1);

A?(A?1) (可以看成从1一直加到A),b部分面积为B×B(可以看作从1一直加到B再又2A?(A?1)=B×B. 2 可以表示为奇数×相邻的偶数÷2=B×B;

其中A是连续两个数中较小的一个,B的平方等于连续两个数的乘积除以2. 因为相邻的两个数互质,所以,偶数÷2后与原相邻奇数也互质; 所以,奇数必定为完全平方数;偶数÷2也为完全平方数,这样:

①奇数为1,则偶数为2,除以2,为1,均为完全平方数.A=l,B=1×2÷2=1,于是为A+B=2,A+2B=3;所以为l+2=3;

②奇数为9,则偶数为8,除以2,为4,均为完全平方数.A=8,B=8×9÷2=36,于是为A+B=8+6=14,A+2B=8+2×6=20;所以为1+2+3+…+14=15+16+17+…+20;

还可以偶数为10,除以2,为5,不是完全平方数,不满足.

③奇数为25,则偶数为24,除以2,为12,不是完全平方数,不满足; 还可以偶数为26,除以2,为13,不是完全平方数,不满足.

④奇数为49,则偶数为48,除以2,为24,不是完全平方数,不满足;

22 3

B=49×50÷2=1225, 还可以偶数为50,除以2,为25,是完全平方数.A=49,于是为A+B=49+35=84,

A+2B=49+2×35=119.所以等式为l+2+3+…+84=85+86+87+…+119(=3570).

所以所求的式子为1+2+3+…+84=85+86+87+…+119(=3570).

7.把一个整数写成非零自然数的和的形式.如果所用的几个自然数相同,只是写的顺序不同,也只算做一种方法.另外,只使用一个自然数,也算做一种方法.

(1)比如,把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有如下七种:

6,5+1,4+2,3+3,4+l+1,3+2+1,2+2+2.请问:把50用三个以内的自然数的和来表示的方法有几种?

(2)比如,把7用3以下的自然数的和来表示的方法有如下八种:

3+3+1,3+2+2,3+2+1+1,2+2+2+l,3+1+1+1+1,2+2+l+1+1,2+1+1+1+1+1,1+l+1+1+1+1+1.请问:把50用3以下的自然数的和来表示的方法有几种?

【分析与解】 (1)我们注意到设x+y+z=50,求x、y、z有多少组可能的值,并且x、y、z代表的数字调换顺序只算一种.

为了方便计算,不妨设x≤y≤z.

当x=0时,y+z=50,y可以取0~25,z对应取值,于是有26组解; 当x=1时,y+z=49,y可以取1~24,z对应取值,于是有24组解; 当x=2时,y+z=48,y可以取2~24,z对应取值,于是有23组解; 当x=3时,y+z=47,y可以取3~23,z对应取值,于是有21组解;

当x=4时,y+z=46, y可以取4~23,z对应取值,于是有20组解; …… …… …… …… …… …… ……

当x=15时,y+z=35,y可以取15~17,z对应取值,于是有3组解; 当x=16时,y+z=34,y可以取16~17,z对应取值,于是有2组解. 所以,共有26+24+23+21+20+…+3+2组可能的值;

我们知道有17个数的和,我们注意到这些数的规律,每个数是上一个数-2,-1,-2,-1,…, -2,-1; 所以,我们这样计算26+(24+23)+(21+20)+…+(3+2)=26+47?47?8项2?5=26+(47+5)×8÷2=26+52×

4=234

所以有234种不同的表示方法.

(2)我们注意一下,把6也分成三个以内的数的和,如: 6=1+1+4.

我们注意到从左往右看可以得到下面的数:1+1+4=6,

而从上往下看得到右边的数3+1+1+1=6,每个数都是3或3以下.

并且不光是6满足,其他的也满足,当把它从左到右排列成三个数以内的和,则从上到下一定是3以内的数的和.

也就说是一一对应的,于是(1)的种数就是(2)所对应的种数.即234种.

8.洗衣服要打好肥皂,揉搓得很充分,再拧一下,当然不可能全拧干.假设使劲拧紧后,衣服上

4

还留有1千克带污物的水.现在有清水18千克,假设每次用来漂洗的水都是整数千克,试问留下的污物最少是洗涤前的几分之几?

【分析与解】 我们假设分成n次分别为x,y,z,……,

则每次漂洗的时候,总是加上上次剩下的l千克污水,则每次实际水量分别为: x+1,y+l,z+1,…, 则最后剩下了

1111????x?1y?1z?1?1,,要使最后残留的最少,只要分母最大即可.

注意到当18全部分成2的时候,2+1即是3,也就是满足我们【内容概述】第3条了,此时分了

1?1?18÷2=9次,于是为???.

319683?? 但是我们还应注意到,当分的次数越多,分母的和越大.如:当分成10次时,经过的水量变成

8291?1??1?18+10=28,则此时可以是8个3千克,2个2千克,此时为??????.

?3??2?26244 于是考虑最极端的情况,我们把清水分成18次,此时经过的水量变成18+18=36,为18个2千克,

181?1?此时对应???.因为每次必须是整数千克的水,所以不能再分.

2262144?? 于是,当分成18次,每次1千克,此时剩下的污物残留量最少,为洗涤前的

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1.

262144