2017年山东省济南市中考数学试卷(含答案解析版) 下载本文

∵CF=EF,

∴△CEF是等边三角形.

【点评】此题是几何变换综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,四边形内角和公式,解本题的关键是构造全等三角形,难点是判断出△BCG∽△ACE,是一道典型的中考常考题.

29.(9分)(2017?济南)如图1,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(4,0),(0,6),直线AD交B C于点D,tan∠OAD=2,抛物线M1:y=ax2+bx(a≠0)过A,D两点.

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(1)求点D的坐标和抛物线M1的表达式;

(2)点P是抛物线M1对称轴上一动点,当∠CPA=90°时,求所有符合条件的点P的坐标;

(3)如图2,点E(0,4),连接AE,将抛物线M1的图象向下平移m(m>0)个单位得到抛物线M2.

①设点D平移后的对应点为点D′,当点D′恰好在直线AE上时,求m的值;

②当1≤x≤m(m>1)时,若抛物线M2与直线AE有两个交点,求m的取值范围. 【考点】HF:二次函数综合题.

【分析】(1)如图1中,作DH⊥OA于H.则四边形CDHO是矩形.在Rt△ADH中,解直角三角形,求出点D坐标,利用待定系数法即可解决问题;

(2)如图1﹣1中,设P(2,m).由∠CPA=90°,可得PC2+PA2=AC2,可得22+(m﹣6)2+22+m2=42+62,解方程即可;

(3)①求出D′的坐标;②构建方程组,利用判别式△>0,求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围;③求出x=m时,求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标;结合上述的结论即可判断.

【解答】解:(1)如图1中,作DH⊥OA于H.则四边形CDHO是矩形.

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∵四边形CDHO是矩形, ∴OC=DH=6,

∵tan∠DAH==2,

∴AH=3, ∵OA=4, ∴CD=OH=1, ∴D(1,6),

, 把D(1,6),A(4,0)代入y=ax2+bx中,则有

解得 ,

∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x.

(2)如图1﹣1中,设P(2,m).

∵∠CPA=90°, ∴PC2+PA2=AC2,

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∴22+(m﹣6)2+22+m2=42+62, 解得m=3± ,

∴P(2,3+ ),P′(2,3﹣ ).

(3)①如图2中,

易知直线AE的解析式为y=﹣x+4, x=1时,y=3, ∴D′(1,3),

平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m, 把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m, ∴m=3. ②由

,消去y得到2x2﹣9x+4+m=0,

当抛物线与直线AE有两个交点时,△>0, ∴92﹣4×2×(4+m)>0, ∴m<

③x=m时,﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m,解得m=2+ 或2﹣ (舍弃),

综上所述,当2+ ≤m<时,抛物线M2与直线AE有两个交点.

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会构建方程组,利用判别式解决问题,属于中考压轴题.

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