∵CF=EF，

∴△CEF是等边三角形．

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，四边形内角和公式，解本题的关键是构造全等三角形，难点是判断出△BCG∽△ACE，是一道典型的中考常考题．

29．（9分）（2017?济南）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．

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（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；

（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；

（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．

①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；

②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围． 【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；

（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．

【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．

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∵四边形CDHO是矩形， ∴OC=DH=6，

∵tan∠DAH==2，

∴AH=3， ∵OA=4， ∴CD=OH=1， ∴D（1，6），

， 把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有

解得 ，

∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．

（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．

∵∠CPA=90°， ∴PC2+PA2=AC2，

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∴22+（m﹣6）2+22+m2=42+62， 解得m=3± ，

∴P（2，3+ ），P′（2，3﹣ ）．

（3）①如图2中，

易知直线AE的解析式为y=﹣x+4， x=1时，y=3， ∴D′（1，3），

平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m， 把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m， ∴m=3． ②由

，消去y得到2x2﹣9x+4+m=0，

当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0， ∴92﹣4×2×（4+m）＞0， ∴m＜

，

③x=m时，﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m，解得m=2+ 或2﹣ （舍弃），

综上所述，当2+ ≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．

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