2019年上海市奉贤区高考数学一模试卷
一、填空题（第1题到第6題毎题4分,第7题到第12题毎题5分,满分54分) 1．（4分）已知A＝{x|3＜1}，B＝{x|y＝lg（x+1）}，则A∪B＝ ． 2．（4分）双曲线x﹣
2
x
＝1的一条渐近线的一个方向向量＝（u，v），则＝ ．
x
﹣1
3．（4分）设函数y＝f（x）＝2+c的图象经过点（2，5），则y＝f（x）的反函数f（x）＝ ．
4．（4分）在（x﹣）的展开式中x的系数为 ．
5．（4分）若复数z＝（a+i）（3+4i）（i是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z的共扼复数的模等于 ．
6．（4分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为 ．
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为c，若（a﹣b+c）＝
，则角B的值为 ．（用反正切表示）
8．（5分）椭圆为 ．
9．（5分）函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）+g（﹣x）＝x．设函数f（x）＝g（x）﹣
22
2
2
2
5
+＝1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围
，
且f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若f（a）+f（a﹣2）≤0，则实数a的取值范围为 ．
10．（5分）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支． 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．
已知2017年为丁酉年，那么到改革开放100年时，即2078年为 年． 11．（5分）点P在曲线
＝1上运动，E是曲线第二象限上的定点，E的纵坐标
是，O（0，0），F（4，0），若＝x+y
2
，则x+y的最大值是 ．
2
12．（5分）设A（x1，y1），B（x1，y2）是曲线x+y＝2x﹣4y的两点，则x1y2﹣x2y1的最大值是 ．
二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分)
13．（5分）下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（ ） A．B．C．D．
14．（5分）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
，则q的
15．（5分）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若取值范围是（ ） A．（0，1）
C．（0，1]∪（2，+∞）
B．（2，+∞） D．（0，2）
16．（5分）若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足
＝，则
称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ） A．25
B．50
C．51
D．100
三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分)
17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC，D是BC的中点．
（1）求证：BC⊥平面A1AD；
（2）若∠BAC＝90°，BC＝4，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8AB1所成的角的大小．
，求异面直线A1D和
18．（14分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）在一个周期内的图象经过B（
），C（
），D（
）三点，求f（x）＝Asin（ωx+φ）的解析式．
19．（14分）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．
（1）若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？ 20．（16分）已知抛物线y＝x上的A，B两点满足
2
＝2，点A、B在抛物线对称轴的
左右两侧，且A的横坐标小于零，抛物线顶点为O，焦点为F． （1）当点B的横坐标为2，求点A的坐标；
（2）抛物线上是否存在点M，使得|MF|＝λ|MO|（λ＞0），若请说明理由；
（3）设焦点F关于直线OB的对称点是C，求当四边形OABC面积最小值时点B的坐标． 21．（18分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{an}的前n项和Sn＝am，则称{an}是“回归数列”．
（Ⅰ）①前n项和为
的数列{an}是否是“回归数列”？并请说明理由；
②通项公式为bn＝2n的数列{bn}是否是“回归数列”？并请说明理由；
（Ⅱ）设{an}是等差数列，首项a1＝1，公差d＜0，若{an}是“回归数列”，求d的值； （Ⅲ）是否对任意的等差数列{an}，总存在两个“回归数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn+cn（n∈N）成立，请给出你的结论，并说明理由．
*
2019年上海市奉贤区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（第1题到第6題毎题4分,第7题到第12题毎题5分,满分54分) 1．（4分）已知A＝{x|3＜1}，B＝{x|y＝lg（x+1）}，则A∪B＝ R ． 【考点】1D：并集及其运算．
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∪B． 【解答】解：∵A＝{x|3＜1}＝{x|x＜0}， B＝{x|y＝lg（x+1）}＝{x|x＞﹣1}， ∴A∪B＝R． 故答案为：R．
【点评】本题考查并集的求法，考查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）双曲线x﹣
2
xx
＝1的一条渐近线的一个方向向量＝（u，v），则＝ ．
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用直线的一个方向向量为（1，k），再利用双曲线的定义求得双曲线的渐近线方程即可．．
【解答】解：双曲线x﹣
2
＝1的渐近线方程为y＝±x，
则渐近线方一个方向向量为（1，k）． ∴故答案为：
， ．
【点评】本题考查双曲线的性质，直线方向向量的定义，属于中档题．
3．（4分）设函数y＝f（x）＝2+c的图象经过点（2，5），则y＝f（x）的反函数f（x）＝ log2（x﹣1） ．
x
﹣1