【点评】本题考查曲线方程和应用，考查向量的坐标表示和简单线性规划问题，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．

12．（5分）设A（x1，y1），B（x1，y2）是曲线x+y＝2x﹣4y的两点，则x1y2﹣x2y1的最大值是

．

2

2

【考点】JF：圆方程的综合应用．

【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5B：直线与圆．

【分析】由三角形的面积公式，结合向量数量积的坐标表示，变形即可得到所求解析式；x1y2﹣x2y1的最大值为2S的最大值，利用圆内接三角形面积最大时为等边三角形，即可得到取最大值

【解答】解：△AOB

的面积为

S＝

|

|?|

|?|sin∠AOB＝

＝

＝|x1y2﹣x2y1|；

故x1y2﹣x2y1的最大值为2S的最大值，

曲线x+y＝2x﹣4y，即（x﹣1）+（y+2）＝5为圆心（1，﹣2），半径为且圆经过原点，

当△AOB为等边三角形时，其面积最大， 则最大值为

，

，

2

2

2

2

的圆，

故x1y2﹣x2y1的最大值为设故答案为：

．

【点评】本题考查三角形的面积的求法，注意运用向量数量积的坐标表示，考查代数式的最

值求法，属于中档题．

二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分)

13．（5分）下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（ ） A．B．C．D．

【考点】OM：二阶行列式的定义． 【专题】11：计算题．

【分析】根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果． 【解答】解：∵sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ， 对于A：对于B：对于C：对于D：故选：C．

【点评】本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．

14．（5分）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件

B．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

＝sinαcosβ+cosαsinβ；故错； ＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错； ＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确； ＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；LP：空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】由题意知，用由一条直线和直线外一点确定一个平面验证充分性成立，反之必要性不成立．

【解答】解：充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，

由一条直线和直线外一点确定一个平面，推出“这四点在唯一的一个平面内”；

必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”； 故选：A．

【点评】本题考查了确定平面的依据：即公理2和推论，还有必要条件、充分条件与充要条件的判断．

15．（5分）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若取值范围是（ ） A．（0，1）

C．（0，1]∪（2，+∞） 【考点】8J：数列的极限．

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用；54：等差数列与等比数列．

【分析】根据题意，分析可得等比数列{an}中q≠1，由等比数列的前n项和公式可得

B．（2，+∞） D．（0，2）

，则q的

＝，进而结合极限的计算公式分析可得＝＜，解可得q

的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，等比数列{an}中

，则必有q≠1，

则Sn＝

，

则＝＝＝，

若

存在，且{an}的各项均为正数，必有q＞1，

此时

解可得q＞2，

＝＜，

即q的取值范围为（2，+∞）； 故选：B．

【点评】本题考查等比数列的前n项和以及极限的计算，注意掌握极限的计算公式，属于基础题．

16．（5分）若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足

＝

，则

称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ） A．25

B．50

C．51

D．100

【考点】8B：数列的应用．

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．

【分析】根据“好集”的定义，可解关于x1，x2，x3的方程组，用x2把另外两个元素表示出来，再根据“集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，通过x1，x2，x3∈M”构造出关于x2的不等式，求出x2中最大的元素．可以求出x2的最大值，从而确定“β等差数列的个数． 【解答】解：∵

＝

，且x1+x3＝2x2，可得：

＝

，

∴（x1﹣x2）（x1+2x2）＝0，

∴x1＝x2（舍），或x1＝﹣2x2，∴x3＝4x2， 令﹣100≤4x2≤100，得﹣25≤x2≤25， ∴“β等差数列”的个数为2×25＝50． 故选：B．

【点评】这是一道新定义题，关键是理解好题意，将问题转化为方程（组）或不等式问题，则问题迎刃而解．

三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分)

17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC，D是BC的中点． （1）求证：BC⊥平面A1AD；

（2）若∠BAC＝90°，BC＝4，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8AB1所成的角的大小．

，求异面直线A1D和

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直．

【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．

【分析】（1）推导出AA1⊥BC，BC⊥AD，由此能证明BC⊥平面A1AD1．

（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线A1D和AB1所成的角的大小．

【解答】证明：（1）∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC， 又AB＝AC，D是BC的中点，BC⊥AD， AA1∩AD＝A， ∴BC⊥平面A1AD1．

解：（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4， ∴AB＝AC＝2

，

，

， ＝

＝4，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8∴S△ABC?AA1＝4AA1＝8

，解得AA1＝2

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（

＝（

，0），A（0，0，0），B1（2，﹣2

），

＝（2

，0，2，0，2

）， ），

设异面直线A1D，AB1所成角为θ， 则cosθ＝

＝

＝

．

∴异面直线A1D和AB1所成的角的大小为arccos

．