（2）3个月后的2个月派发的1元股息的现值= e 远期价格=（35-0.99）e
0.06?3/12
-0.06?2/12
=0.99元。
=34.52元。
-0.06?3/12
此时空头远期合约价值=（28.89-34.52）e4． 9个月储藏成本的现值=0.5+0.5e
白银远期价格=(80+1.48)e
0.05?9/12
-0.05?3/12
=-5.55元。 =1.48元。
+0.5e
-0.05?6/12
=84.59元。
5． 银行在定价时可假定客户会选择对银行最不利的交割日期。我们可以很容易证明，如果外
币利率高于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最早的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最迟的交割日期。相反，如果外币利率低于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最迟的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最早的交割日期。只要在合约有效期中，外币利率和本币利率的高低次序不变，上述分析就没问题，银行可按这个原则定价。
但是当外币利率和本币利率较为接近时，两者的高低次序就有可能发生变化。因此，客户选择交割日期的权力就有特别的价值。银行应考虑这个价值。
如果合约签订后，客户不会选择最有利的交割日期，则银行可以另赚一笔。 6． 只有当外币的系统性风险等于0时，上述说法才能成立。
7． 将上述贷款利率转换成连续复利年利率，则正常贷款为10.44%,黄金贷款为1.98％。
假设银行按S元/盎司买了1盎司黄金，按1.98％的黄金利率贷给客户1年，同时卖出e
0.0198
盎司1年远期黄金，根据黄金的储存成本和市场的无风险利率，我们可以算出黄金的1
0.0975
年远期价格为Se元/盎司。也就是说银行1年后可以收到Se
0.0198+0.0975
=Se
0.1173
元现金。可
见黄金贷款的连续复利收益率为11.73%。显然黄金贷款利率高于正常贷款。 8． 瑞士法郎期货的理论价格为： 0.65e
0.1667×(0.07-0.02)
=0.06554
可见，实际的期货价格太高了。投资者可以通过借美元，买瑞士法郎，再卖瑞士法郎期货 来套利。
9． 与12％连续复利年利率等价的3个月计一次复利的年利率为： 4×（e
0.03
-1）=12.18%
因此，每个月应得的利息为： 10万×0.1218/4＝3045.5元。
10．
第十三章
由于股价指数的系统性风险为正，因此股价指数期货价格总是低于预期未来的指数值。
习题：
1．某投资者买进一份看涨期权同时卖出一份相同标的资产、相同期限、相同协议价格的看跌期权，请描述该投资者的状况。
2．请解释为什么相同标的资产、相同期限、相同协议价格的美式期权的价值总是大于等于欧式期权。
3．设某一无红利支付股票的现货价格为30元，连续复利无风险年利率为6%，求该股票协议价格为27元、有效期3个月的看涨期权价格的下限。
4．某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧式看跌期权价格等于多少？
5．假设你是一家负债率很高的公司的唯一股东。该公司的所有债务在1年后到期。如果到时公司的价值高于债务，你将偿还债务。否则的话，你将宣布破产并让债权人接管公司。
（1）请将你的股权表示为公司价值的期权； （2）请将债权人的债权表示为公司价值的期权； （3）你有什么办法来提高股权的价值？
6．设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、X3的欧式看涨期权的价格，其中X3>X2>X1且X3―X2=X2―X1，所有期权的到期日相同，请证明：
c2?0.5(c1?c3)
7、请用看涨期权看跌期权平价证明用欧式看跌期权创造蝶式差价组合的成本等于用欧式看涨期权创造蝶式差价组合的成本（条件：X3-X2=X2-X1）。
8、箱型差价组合（Box Spread）由看涨期权的牛市差价组合和看跌期权的熊市差价组合组成。两个差价组合的协议价格都是X1和X2。所有期权的期限都一样。请分析该箱型差价组合的结果。
9．假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%，年波动率30%，该股票当天收盘价为50元，求：?第二天收盘时的预期价格，?第二天收盘时股价的标准差，?在置信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。
10.变量X1和X2遵循普通布朗运动，漂移率分别为?1和?2，方差率分别为?1和?2。请问在下列两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？
（1）在任何短时间间隔中X1和X2的变动都不相关； （2）在任何短时间间隔中X1和X2变动的相关系数为?。
11．假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。
12．请证明布莱克－舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平价公式。 13．某股票市价为70元，年波动率为32%，无风险利率为10%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请证
2
2
明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。
14．某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？
15．某种不支付红利股票市价为40元，年波动率为30%，无风险利率为5%，请用间隔时间为一个月的二叉树模型（可以使用本书光盘中所附软件）计算该股票协议价格为40元、有效期3个月的美式和欧式看跌期权价格。
习题答案：
1、 该投资者最终的结果为：
max(ST-X,0)+min(ST-X,0)=ST-X 可见，这相当于协议价格为X的远期合约多头。
本习题说明了如下问题： （1）
欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头可以组成远期合约多头；欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头可以组成远期合约空头。
（2）
远期合约多头可以拆分成欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头；远期合约空头可以拆分成欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头。
（3）
当X等于远期价格时，远期合约的价值为0。此时看涨期权和看跌期权的价值相等。
2、 美式期权的持有者除了拥有欧式期权持有者的所有权利外，还有提前执行的权利，因此美式期
权的价值至少应不低于欧式期权。 3、 下限为： 30－27e
-0.06×0.25
=3.40元。
4、 看跌期权价格为： p=c+Xe+D-S0 =2+25e
-0.5×0.08-rT
+0.5e
-0.1667×0.08
+0.5e
-0.4167×0.08
-24
=3.00元。
5、 （1）假设公司价值为V，到期债务总额为D，则股东在1年后的结果为： max(V-D,0)
这是协议价格为D，标的资产为V的欧式看涨期权的结果。 （2）债权人的结果为：
min(V,D)=D-max(D-V,0)
由于max(D-V,0)是协议价格为D、标的资产为V的欧式看跌期权的结果。因此该债权可以
分拆成期末值为D的无风险贷款，加上欧式看跌期权空头。
（3）股东可以通过提高V或V的波动率来提高股权的价值。第一种办法对股东和债权人都有利。
第二种办法则有利于股东而不利于债权人。进行风险投资显然属于第二种办法。
6、 考虑一个组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头、一份协议价格为X3的欧式看涨期权多
头和2份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组合。在4种不同的状态下，该组合的价值分别为： 当ST?X1时，组合价值＝0；
当X1
当X2
以上分析表明，在期权到期时，该组合价值一定大于等于0，那么在无套利条件下，该组
合现在的价值也应大于等于0，这意味着： c1+c3-2c2?0, 或者说： c2?0.5(c1+c3).
7、 令c1、c2、c3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看涨期权的价格，p1、p2、p3分别表示协议
价格为X1、X2和X3的欧式看跌期权的价格。根据看涨期权看跌期权平价： c1+X1e=p1+S c2+X2e=p2+S c3+X3e=p3+S 因此，
c1+c3-2c2+(X1+X3-2X2)e=p1+p3-2p2 由于X2-X1=X3-X2,因此，X1+X3-2X2＝0。这样， c1+c3-2c2=p1+p3-2p2 证毕。
8、 看涨期权的牛市差价组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头和一份协议价格为X2的欧
式看涨期权空头组成。看跌期权的熊市差价组合由一份协议价格为X2的欧式看跌期权多头和一份协议价格为X1的欧式看跌期权空头组成。其结果为： 期末股价范围
ST?X2 X1 看涨期权的牛市差价组合 X2-X1 ST－X1 0 看跌期权的熊市差价组合 0 X2-ST X2-X1 总结果 X2-X1 X2-X1 X2-X1 -rT -rT-rT-rT 从上表可以看出，在任何情况下，该箱型组合的结果都是X2-X1。在不存在套利机会的情况下，该组合目前的价值应该等于X2-X1的现值。 9、 由于 ?S~?(??t,??t) S0.5 在本题中，S＝50，?＝0.16,?=0.30,?t=1/365=0.00274.因此， ?S/50??(0.16?0.00274,0.3?0.00274) =?(0.0004,0.0157) ?S??(0.022,0.785) 因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.96?0.785至50.022+1.96?0.785,即48.48元至51.56元之间。 10、 （1）假设X1和X2的初始值分别为a1和a2。经过一段时间T后，X1的概率分布为： ?（a1??1T,?1T) X2的概率分布为： ?（a2??2T,?2T) 根据独立的正态分布变量之和的性质，可求X1和X2的概率分布为： 2?（a1??1T?a2??2T,?12T??2T)2??（a1?a2?(?1??2)T,(?12??2)T)2 这表明，X1和X2遵循漂移率为?1??2，方差率为?12??2的普通布朗运动。 （2）在这种情况下，X1和X2在短时间间隔Δt之内的变化的概率分布为： 22 ?[(?1??2)?t,(?1??2?2??1?2)?t] 如果?1、?2、?1、?2和?都是常数，则X1和X2在较长时间间隔T之内 的变化的概率分布为： 22 ?[(?1??2)T,(?1??2?2??1?2)T] 这表明，X1和X2遵循漂移率为?1??2，方差率为?1??2+ 2??1?2的普通布朗运动。 11、 在本题中，S＝50，X＝50，r=0.1,σ=0.3,T=0.25, 22 因此， d1?ln(50/50)?(0.1?0.09/2)?0.25?0.24170.3?0.25 d2?d1?0.3?0.25?0.0917 这样，欧式看跌期权价格为， p?50N(?0.0917)e?0.1?0.25?50N(?0.2417)?50?0.4634e?0.1?0.25 ?50?0.4045?2.3712、 根据布莱克－舒尔斯看跌期权定价公式有： ?rT p?S?XeN(?d2)?SN(?d1)?S 由于N（-d1）=1-N(d1),上式变为：