第一章

量子力学的诞生

1.1设质量为m的粒子在谐振子势V(x)? 提示：利用 p?dx?nh,1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 2p?2m[E?V(x)] V(x) ?n?1,2,?,解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a （1） 其中a由下式决定：E?V(x)x?a?由此得 a?1m?2a2。 ?a 0 a x 22E/m?2 ， （2）

x??a即为粒子运动的转折点。有量子化条件

?a?p?dx?2?得a?2?a1?2m(E?m?2x2)dx?2m??a2?x2dx?2m?a2??m??a2?nh

22?a?anh2?n? （3） m??m?代入（2），解出 En?n??,n?1,2,3,? （4）

ua2u22a?udu?a?u?arcsin?c

22a22积分公式：

?1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

?px?dx?nxh,?nx?1,2,3,??

即 px?2a?nxh （2a：一来一回为一个周期）

?px?nxh/2a,

同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c,

nx,ny,nz?1,2,3,?

粒子能量

Enxnynz1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m222??nxnynz??2?2? 2?abc??? nx,ny,nz?1,2,3,?

1.3设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。 提示：利用

?2?02p?d??nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。转子的能量E?p?/2I。

解：平面转子的转角（角位移）记为?。

它的角动量p??I?（广义动量），p?是运动惯量。按量子化条件

.?2?0p?dx?2?p??mh,m?1,2,3,?

?因而平面转子的能量

p??mh，

2Em?p?/2I?m2?2/2I，

m?1,2,3,?

1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.

(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单

位，洛伦兹与向心力平衡条件是:

Bevmv2? (1) cr又利用量子化条件,令p?电荷角动量 q?转角?

2??pdq??mrvd??2?mrv?nh (2)

0即 mrv?nh (3) 由(1)(2)求得电荷动能=

12Be?nmv? 22mc再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能

v磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*?r2*B??=,v是电荷的旋转频率, v?,代入前式得

2?rcccBe?n

(符号是正的) 2mc

Be?n点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( n?1,2,3 )

2mc运动电荷的磁势能=

1.5，1.6未找到答案

1.7（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律

nsin??nsin?1122

（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理?射定律

?pdl?0 认为p?mv则??pdl?0这将导得下述折

nsin??nsin?

1331这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：p?媒质到另一种媒质E仍不变，仍有?Ev仍就成立，E是粒子能量，从一种c2?pdl?0，你怎样解决矛盾？

（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的

路径是两段直线：光程

I?n1AQ?n2QB

设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有

I?n1asec?1?n2bsec?2

又AB沿界面的投影c也是常数，因而

?，?12存在约束条件：

atg?1?btg?2?c （2）

求(1)的变分,而将

?,?12看作能独立变化的,有以下极值条件