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EX1.矢量空间

练习 1.1 试只用条件（1）~（8）证明????2?，?0??和?（?1）???。 （完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得

?????1??1?（?1）?1?2 ? 只需证明?0??和?(?1)???这两式互相等价 根据条件（7）

?0??(0?0)??0??0 现在等式两边加上(??0)，得

?0?(??0)?(?0??0)?(??0) 根据条件（4）， 上式左??0?(??0)?? 根据条件（4）、（2）

上式右??0?(?0??0)??0????0 ??0??

由?0??，根据条件（4）、（7）得

?0??(1?1)????(?1)?????? ??(?1)??? #

练习 1.2 证明在内积空间中若??1,?????2,??对任意?成立，则必有?1??2。 （完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）

证明 由题意可知，在内积空间中若??1,?????2,??对任意?成立，则有

??1,??－??2,??=0 (1)

于是有

??1??2,???0 (2)

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由于在内积空间中??1,?????2,??对任意?成立，则可取???1??2,则有

??1??2,?1??2?=0 成立 （3）

根据数乘的条件（12）可知，则必有

?1??2?0（4） 即?1??2

故命题成立，即必有?1??2. #

练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。 #

练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角??180??的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量A和B内积的定义改为A?Bsin?或

1A?Bsin?，空间是否仍为内积空间？ 2

（3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 ?l,m??l1m1?2l2m2?3l3m3?4l4m4

****空间是否仍为内积空间？

（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为

?f(x),g(x)???a?f(x),g(x)???abf*(x)g(x)xdx或f(x)g(x)xdx*2b

空间是否仍为内积空间？

（完成人：张伟 审核人：赵中亮）

解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。

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因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为

A，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零

矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。

（2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下：

一般情况下，B?C?B?C,即有

?A,B?C?? A?B?Csin??A?Bsin??A?Csin?=?A,B???A,C?

所以内积的定义改变之后不是内积空间。

（3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明如下： i

?m,l?*?(m1*l1?2m2*l2?3m3*l3?4m4*l4)*?l1*m1?2l2*m2?3l3*m3?4l4*m4??l,m?

ii．

?l,m?n??l1*(m1?n1)?2l2*(m2?n2)?3l3*(m3?n3)?4l4*(m4?n4)?(l1m1?2l2m2?3l3m3?4l4m4)?(l1n1?2l2n2?3l3n3?4l4n4) ??l,m???l,n?iii．

********?l,ma??l1*m1a?2l2*m2a?3l3*m3a?4l4*m4a?a(l1m1?2l2m2?3l3m3?4l4m4) ?a?l,m?iv.?l,l??|l1|2?2|l2|2?3|l3|2?4|l4|2?0，对任意l成立 若?l,l??0,则必有l1?l2?l3?l4?0,即l?0

综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间

（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为

****?f(x),g(x)???abf*(x)g(x)xdx后，空间不是内积空间。

b*b2aa因为?f(x),f(x)???f(x)f(x)xdx??f(x)xdx，积分号内的函数是一个

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