相似三角形知识点与经典题型

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是

am?，或写bn成a:b?m:n．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：?bcd．②aaca、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫比例后在比例式?(a：b?c：d)中，bd2项，d叫第四比例项，如果b=c，即 a：b?b：d那么b叫做a、d的比例中项， 此时有b?ad。

（3）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC?BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即AC2?AB?BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC?0.618AB．即

5?1AB≈2ACBC5?1长短5?1?? 简记为：＝＝ ABAC2全长2

0

注：黄金三角形：顶角是36的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1） 基本性质：

①a:b?c:d?ad?bc；②a:b?b:c?b?a?c．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad?bc，除

了可化为a:b?c:d，还可化为a:c?b:d，c:d?a:b，b:d?a:c，b:a?d:c，c:a?d:b，d:c?b:a，d:b?c:a．

2（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：

ac?bd（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：

（4）合、分比性质：

ac?bd?ab(交换内项)?c?d，??dc ???，(交换外项)ba??db(同时交换内外项)?c?a．?bd??．

acaca?bc?d???． bdbd

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

?b?ad?c??ac?ac等等．

发生同样和差变化比例仍成立．如：???bd?a?b?c?d??a?bc?d （5）等比性质：如果

acema?c?e???ma?????(b?d?f???n?0)，那么?．

b?d?f???nbbdfn注：

①此性质的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

acea?2c3ea?2c?3ea???????；其中b?2d?3f?0． bdfb?2d3fb?2d?3fb知识点4 比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应

线段成比例. A

由DE∥BC可得：

ADAEBDECADAE ?或?或?DBECADEAABACDE

CB注：

①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比．．．．．．．．．．．．例.

②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.

A 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. D 已知AD∥BE∥CF,

BE

可得

ABDEABDEBCEFBCEFABBC等. ?或?或?或?或?BCEFACDFABDEACDFDEEFCF

注：平行线分线段成比例定理的推论：

平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

知识点5 相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：

①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理

(1)相似三角形的等价关系：

①反身性：对于任一?ABC有?ABC∽?ABC．

②对称性：若?ABC∽?A'B'C'，则?A'B'C'∽?ABC．

③传递性：若?ABC∽?A'B'C?，且?A'B'C?∽?A??B??C??，则?ABC∽?A??B??C?? (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形： ADE A

A

CBE D

C ECBDB(1)(2)(3)

用数学语言表述是：?DE//BC， ∴ ?ADE∽?ABC．

知识点7 三角形相似的判定方法

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。

2

2

2

A知识点8 相似三角形常见的图形

BDC1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）

BAAEDEDABC

(1)CDE(2)B(3)C(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、

“反A共角共边型”、 “蝶型”）

B2E1DC2BAA4D1E1DC2ABCE（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

BEDCAAEBEABC(D)CDAD2EBC1(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 2、几种基本图形的具体应用：

（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

（2）射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

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则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=AD·AB，CD=AD·BD，BC=BD·AB；

ADBECEABDC

（3）满足1、AC=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．

2

CADB（4）当

ADAE?或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB． ACABADBCADEBC