总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题.

”

类型四、相似三角形的应用

7．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？

方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽. 方案2：

思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.

如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又 ∵ ∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 答：河宽为85m． 总结升华：方案2利用了“助相似；也可用等腰三角形等等.

”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“

”型基本图形，借

举一反三

【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度．

解：(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90° ∵∠A=∠A

∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴

∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m

∴

∴DE=16m

答：古塔的高度为16m.

【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

思路点拨：光线AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则 解：作EF⊥DC交AD于F.因为AD∥BE，所以

，利用边的比例关系求出BC. 又因为

，

所以，所以.

因为AB∥EF， AD∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m.

所以

m.

类型五、相似三角形的周长与面积

8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面积．

解：∵ DA∥BC，

∴ △ADE∽△BCE．

∴ S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2． ∵ AE︰BE=1︰2，

∴ S△ADE︰S△BCE=1︰4． ∵ S△ADE=1， ∴ S△BCE=4．

∵ S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2， ∴ S△ABC=6． ∵ EF∥BC，

∴ △AEF∽△ABC． ∵ AE︰AB=1︰3，

∴ S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．

∴ S△AEF==．

总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．

举一反三

【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.

解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且，，

∴，

∴.

【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．

(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长； (2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长； 解：(1)∵S△PQC=S四边形PABQ ∴S△PQC：S△ABC=1：2

∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC ∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2

∴CP2=42×

， ∴CP=.

(2)∵S△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，

∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周长)=6

∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC

∴ ，即：

解得，CP=