(完整word版)相似三角形 基本知识点+经典例题(完美打印版) 下载本文

总结升华:图中有两个“”字形,已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“字形,利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形,从而解决问题.

类型四、相似三角形的应用

7.如图,我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ,你有什么方法?

方案1:如上左图,构造全等三角形,测量CD,得到AB=CD,得到河宽. 方案2:

思路点拨:这是一道测量河宽的实际问题,还可以借用相似三角形的对应边的比相等,比例式中四条线段,测出了三条线段的长,必能求出第四条.

如上右图,先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆,然后方向不变,继续向前走10m到C处,在C处转90°,沿CD方向再走17m到达D处,使得A、O、D在同一条直线上.那么A、B之间的距离是多少?

解:∵AB⊥BC,CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又 ∵ ∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC

∵BO=50m,CO=10m,CD=17m ∴AB=85m 答:河宽为85m. 总结升华:方案2利用了“助相似;也可用等腰三角形等等.

”型基本图形,实际上测量河宽有很多方法,可以用“

”型基本图形,借

举一反三

【变式1】如图:小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m,已知小明的身高是1.6 m,他的影长是2 m.

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度.

解:(1)△ABC∽△ADE. ∵BC⊥AE,DE⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90° ∵∠A=∠A

∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE

∵AC=2m,AE=2+18=20m,BC=1.6m

∴DE=16m

答:古塔的高度为16m.

【变式2】已知:如图,阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC?

思路点拨:光线AD//BE,作EF⊥DC交AD于F.则 解:作EF⊥DC交AD于F.因为AD∥BE,所以

,利用边的比例关系求出BC. 又因为

所以,所以.

因为AB∥EF, AD∥BE,所以四边形ABEF是平行四边形,所以EF=AB=1.8m.

所以

m.

类型五、相似三角形的周长与面积

8.已知:如图,在△ABC与△CAD中,DA∥BC,CD与AB相交于E点,且AE︰EB=1︰2,EF∥BC交AC于F点,△ADE的面积为1,求△BCE和△AEF的面积.

思路点拨:利用△ADE∽△BCE,以及其他有关的已知条件,可以求出△BCE的面积.△ABC的边AB上的高也是△BCE的高,根据AB︰BE=3︰2,可求出△ABC的面积.最后利用△AEF∽△ABC,可求出△AEF的面积.

解:∵ DA∥BC,

∴ △ADE∽△BCE.

∴ S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2. ∵ AE︰BE=1︰2,

∴ S△ADE︰S△BCE=1︰4. ∵ S△ADE=1, ∴ S△BCE=4.

∵ S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2, ∴ S△ABC=6. ∵ EF∥BC,

∴ △AEF∽△ABC. ∵ AE︰AB=1︰3,

∴ S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9.

∴ S△AEF==.

总结升华:注意,同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比;同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比.当两个三角形相似时,它们的面积比等于对应线段比的平方,即相似比的平方.

举一反三

【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1∶200和1∶500,求:甲地图与乙地图的相似比和面积比.

解:设原地块为△ABC,地块在甲图上为△A1B1C1,在乙图上为△A2B2C2. ∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且,,

∴,

∴.

【变式2】如图,已知:△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ//AB,P点在AC上(与点A、C不重合),Q点在BC上.

(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长; (2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长; 解:(1)∵S△PQC=S四边形PABQ ∴S△PQC:S△ABC=1:2

∵PQ∥AB, ∴△PQC∽△ABC ∴S△PQC:S△ABC=(CP:CA)2=1:2

∴CP2=42×

, ∴CP=.

(2)∵S△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等,

∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周长)=6

∵PQ∥AB, ∴△PQC∽△ABC

∴ ,即:

解得,CP=