矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析 下载本文

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第一章 误差分析与向量与矩阵的范数

一、内容提要

本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系;掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析;熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。

1.误差的基本概念和有效数字 1).绝对误差和相对误差的基本概念

设实数x为某个精确值,a为它的一个近似值,则称x?a为近似值a的绝对误差,简称x?a为误差. 当x?0时,x称为a的相对误差.在实际运算中,精确值x往往是未知的,所

x?a以常把a作为a的相对误差.

2).绝对误差界和相对误差界的基本概念

设实数x为某个精确值,a为它的一个近似值,如果有常数ea,使得 x?a?ea

eaa称ea为a的绝对误差界,或简称为误差界.称

是a的相对误差界.

此例计算中不难发现,绝对误差界和相对误差界并不是唯一的,但是它们越小,说明a近似x的程度越好,即a的精度越好.

3).有效数字

设实数x为某个精确值,a为它的一个近似值,写成

a??10?0.a1a2?an?

它可以是有限或无限小数的形式,其中ai(i?1,2,?)是0,1,?,9中的一个数字,a1?0,k为整数.如果

x?a?k1?10k?n 2则称a为x的具有n位有效数字的近似值.

如果a有n位有效数字,则a的相对误差界满足:4).函数计算的误差估计

如果y?f(x1,x2,?,xn)为n元函数,自变量x1,x2,?,xn的近似值分别为a1,a2,?,an,则

x?a1??101?n。 a2a1.

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??ff(x1,x2,?,xn)?f(a1,a2,?,an)????k?1??xkn? ??(xk?ak)?a?f??其中????f(a1,a2,?,an),所以可以估计到函数值的误差界,近似地有 ????xk?a?xk??ff(x1,x2,?,xn)?f(a1,a2,?,an)?ea????k?1??xkn? ??eak?a如果令n?2,设x1,x2的近似值分别为a1,a2,其误差界为x1?a1?ea和x2?a2?ea2,

1取y?f(x1,x2)为x1,x2之间的四则运算,则它们的误差估计为,

ea1?a2?ea1?ea1;ea1?a2?a1ea1?a2ea1;ea1?a2a1ea1?a2ea1a22,a2?0。

数相加或减时,其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高. 对于两个数作相减运算时,由于其相对误差界:

ea1?a2a1?a2?ea1?ea2a1?a2。

如果x1和x2是两个十分接近的数,即a1和a2两个数十分接近,上式表明计算的相对误差会很大,导致计算值a1?a2的有效数字的位数将会很少。

对于两个数作相除运算时,由于其相对误差界:ea1?a2a1ea1?a2ea1a22。

从关系式中可以看出,如果x2很小,即a2很小,计算值5).数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则

a1的误差可能很大。 a2⑴ 算法的数值稳定性:一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之,成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。

⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。 ⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。 ⑷ 注意简化运算步骤,尽量减少运算次数。

⑸ 多个数相加,应把绝对值小的数相加后,再依次与绝对值大的数相加。 2.向量和矩阵范数

把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来,在某种意义下,这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数,相应地有一类矩阵函数,其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。

范数的主要的应用:

一、研究这些矩阵和向量的误差估计。

二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。

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1)向量范数

定义 存在Rn(n维实向量空间)上的一个非负实值函数,记为f(x)?x,若该函数满足以下三个条件:即对任意向量x和y以及任意常数??R(实数域)

(1)非负性 x?0,并且x?0的充分必要条件为x?0; (2)齐次性

?x??x;

(3)三角不等式x?y?x?y. 则称函数

?为R上的一个向量范数.

n常用三种的向量范数

TT设任意n维向量x?(x1,x2,?,xn),(x为向量x的转置),

x1??xi, 向量的1-范数

i?1n?n2? x2???xi??i?1? x?1?i?n12?xT?x??x,x?2, 向量的2-范数

1?maxxi, 向量的?-范数

一般情况下,对给定的任意一种向量范数?,其加权的范数可以表为

xW?Wx,

其中W为对角矩阵,其对角元作为它的每一个分量的权系数。

向量范数的连续性定理 R上的任何向量范数x均为x的连续函数。 向量范数的等价性定理 设??和?为R上的任意两种向量范数,则存在两个与向量?nnx无关的正常数c1和c2,使得下面的不等式成立

c1x2). 矩阵范数 定义 存在R任意的A,B?Rn?n??x??c2x?,其中?x?Rn.

(n?n维复矩阵集合)上的一个非负实值函数,记为f(A)?A,对均满足以下条件:

n?n(1)非负性:对任意矩阵A均有A?0,并且A?0的充分必要条件为A?O;

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