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第一章 误差分析与向量与矩阵的范数

一、内容提要

本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。

1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念

设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，则称x?a为近似值a的绝对误差，简称x?a为误差． 当x?0时，x称为a的相对误差．在实际运算中，精确值x往往是未知的，所

x?a以常把a作为a的相对误差．

2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念

设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，如果有常数ea，使得 x?a?ea

eaa称ea为a的绝对误差界，或简称为误差界．称

是a的相对误差界．

此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a近似x的程度越好，即a的精度越好．

3）．有效数字

设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，写成

a??10?0.a1a2?an?

它可以是有限或无限小数的形式，其中ai(i?1,2,?)是0,1,?,9中的一个数字，a1?0,k为整数．如果

x?a?k1?10k?n 2则称a为x的具有n位有效数字的近似值．

如果a有n位有效数字，则a的相对误差界满足：4）．函数计算的误差估计

如果y?f(x1,x2,?,xn)为n元函数，自变量x1,x2,?,xn的近似值分别为a1,a2,?,an，则

x?a1??101?n。 a2a1.

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??ff(x1,x2,?,xn)?f(a1,a2,?,an)????k?1??xkn? ??(xk?ak)?a?f??其中????f(a1,a2,?,an)，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有 ????xk?a?xk??ff(x1,x2,?,xn)?f(a1,a2,?,an)?ea????k?1??xkn? ??eak?a如果令n?2，设x1,x2的近似值分别为a1,a2，其误差界为x1?a1?ea和x2?a2?ea2，

1取y?f(x1,x2)为x1,x2之间的四则运算，则它们的误差估计为，

ea1?a2?ea1?ea1；ea1?a2?a1ea1?a2ea1；ea1?a2a1ea1?a2ea1a22，a2?0。

数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高． 对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：

ea1?a2a1?a2?ea1?ea2a1?a2。

如果x1和x2是两个十分接近的数，即a1和a2两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值a1?a2的有效数字的位数将会很少。

对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界：ea1?a2a1ea1?a2ea1a22。

从关系式中可以看出，如果x2很小，即a2很小，计算值5）．数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则

a1的误差可能很大。 a2⑴ 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之，成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。

⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。 ⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。 ⑷ 注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。

⑸ 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。 2．向量和矩阵范数

把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。

范数的主要的应用：

一、研究这些矩阵和向量的误差估计。

二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。

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1）向量范数

定义 存在Rn（n维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为f(x)?x，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量x和y以及任意常数??R（实数域）

（1）非负性 x?0，并且x?0的充分必要条件为x?0; （2）齐次性

?x??x；

（3）三角不等式x?y?x?y． 则称函数

?为R上的一个向量范数．

n常用三种的向量范数

TT设任意ｎ维向量x?(x1,x2,?,xn)，（x为向量x的转置），

x1??xi， 向量的1-范数

i?1n?n2? x2???xi??i?1? x?1?i?n12?xT?x??x,x?2， 向量的2-范数

1?maxxi， 向量的?-范数

一般情况下，对给定的任意一种向量范数?，其加权的范数可以表为

xW?Wx，

其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。

向量范数的连续性定理 R上的任何向量范数x均为x的连续函数。 向量范数的等价性定理 设??和?为R上的任意两种向量范数，则存在两个与向量?nnx无关的正常数c1和c2，使得下面的不等式成立

c1x2). 矩阵范数 定义 存在R任意的A,B?Rn?n??x??c2x?，其中?x?Rn.

（n?n维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为f(A)?A，对均满足以下条件：

n?n（1）非负性：对任意矩阵A均有A?0，并且A?0的充分必要条件为A?O;

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