实变函数第五章复习题和解答

实变函数第五章 复习题

一、判断题

1、设f(x)是定义在[a,b]上的实函数，由于V(f)总存在，所以f(x)一定是[a,b]上的有界

ab变差函数。（× ）

2、设f(x)是定义在[a,b]上的实函数，f(x)是[a,b]上的有界变差函数?V(f)???。（√ ）

ab3、设f(x)是[a,b]上的单调函数，则f(x)一定是[a,b]上的有界变差函数。（√ ）

4、设f(x)是[a,b]上的有界变差函数，则f(x)既可表示成两个递减函数的差，也可表示成两个递增函数的差。（√ ）

5、有界变差函数一定是几乎处处连续的函数，也一定是几乎处处可微的函数。（√ ） 6、设f(x)是定义在[a,b]上的实函数，[a,b]?[a,c]?[c,b]，a?c?b，则

（√ ） V(f)?V(f)?V(f)。

aacbcb7、设[ab,][?,ac][,]cb?，则f(x)是[a,b]上的有界变差函数的充要条件是f(x)a?c?b，

既是[a,c]上的有界变差函数，也是[c,b]上的有界变差函数。（√ ）

8、若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x)既是[a,b]上的一致连续函数，也是f(x)是

[a,b]上的连续函数。（√ ）

9、若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x)一定是[a,b]上的有界变差函数。（√ ） 10、若f(x)是[a,b]上的有界变差函数，则f(x)一定是[a,b]上的绝对连续函数。（× ） 11、若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，g(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x)?g(x)，

f(x)g(x)都是[a,b]上的绝对连续函数。（√ ）

12、若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f?(x)在[a,b]上勒贝格可积。（√ ）

二、填空题

1、叙述有界变差函数的Jordan分解定理 闭区间上的有界变差函数必可分解成两个单调递增函数的差或两个单调递减函数的差 。 2、若f(x)在[a,b]上单调递增，则

?[a,b]f?(x)dx 小于或等于 f(b)?f(a。)

3、若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则

?[a,b]f?(x)dx 等于 f(b)?f(a。)

三、证明题

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实变函数第五章复习题和解答

1、若f(x)是[a,b]上的单调函数，则f(x)是[a,b]上的有界变差函数，且

V(f)?f(b)?f(a)。

ab证明：不妨设f(x)是[a,b]上的单调增函数，任取[a,b]的一个分割

T:a?x0?x1?则

?xi?1?xi??xn?b

?i?1nf(xi)?f(xi?1)??[f(xi)?f(xi?1)]?f(xn)?f(x)0

i?1n ?f(b)?f(a)?f(b)?f(a)，

所以，V(f)?supaTb?i?1nf(xi)?f(xi?1)?f(b)?f(a)。

2、若f(x)在[a,b]上满足：存在正常数K，使得对任意x1,x2?[a,b]，都有

f(x1)?f(x2)?Kx1?x2，

则 （1）f(x)是[a,b]上的有界变差函数，且V(f)?K(b?a)；

ab （2）f(x)是[a,b]上的绝对连续函数。

证明：（1）由题设，任取[a,b]的一个分割

T:a?x0?x1?则

?xi?1?xi??xn?b

?i?1nf(xx1)??Kix?i)?f(?ii?1n?i1x?bK?i?1n(i?x?1ix)?(K?，b )a所以，f(x)是[a,b]上的有界变差函数，且V(f)?supaT?i?1nf(xi)?f(xi?1)?K(b?a)。

（2）在[a,b]内，任取有限个互不相交的开区间(xi,yi)，i?1,2,,n。由于

?i?1nf(xi)?f(yi)??Kxi?yi?K?xi?yi，

i?1i?1nn于是，对任意??0，取??n?K，则当

?x?yii?1ni??时，有

n?i?1f(xi)?f(yi)?K?xi?yi??，

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实变函数第五章复习题和解答

即f(x)是[a,b]上的绝对连续函数。

3、若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x)是[a,b]上的有界变差函数。

证明：由f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，取??1，存在??0，对任意有限个互不

相交的开区间(xi,yi)，i?1,2,,n，只要?xi?yi??时，有?f(xi)?f(yi)?1。

i?1i?1nn现将[a,b]等分，记分点为a?a0?a1?ai?ai?1?ai??an?b，使得每一等份的

n长度小于?。易得V(f)?1，即f(x)是[ai?1,ai]上的有界变差函数。又[a,b]?ai?1aii?1 [ai?1,ai]，

所以，V(f)?ab?V(f)?n???，即f(x)是[a,b]上的有界变差函数。

i?1ai?1n4、若f(x)是[a,b]上的有界变差函数，则 （1）全变差函数V(f)是[a,b]上的递增函数；

ax

（2）V(f)?f(x)也是[a,b]上的递增函数。

ax

x2x1证明：（1）对任意x1,x2?[a,b]，x2?x1，注意到V(f)?0，有

V(f)?V(f)?V(f)?V(f)，

aax1ax2x1x2x1即V(f)是[a,b]上的递增函数。

ax（2）对任意x1,x2?[a,b]，x2?x1，注意到V(f)?f(xi)?f(xi?1)，有

x1x2V(f)?f(x2)?[V(f)?f(x1)]?V(f)?[f(x2)?f(x1)]

aax1x2x1x2 ?V(f)?f(x2)?f(x1)?0，

x1x2即V(f)?f(x)是[a,b]上的递增函数。

ax5、证明Jordan分解定理：f(x)是[a,b]上的有界变差函数?f(x)可表示成[a,b]上的两个增函数之差。

证明：“充分性”显然成立。下证“必要性”。

事实上，f(x)?V(f)?[V(f)?f(x)]，由上题V(f)和V(f)?f(x)都是[a,b]上的

aaaaxxxx递增函数。

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