《实变函数》试卷一

一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）

（A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak;

n??n?1k?n??n??n?1k?n?????二. 填空题(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________ 2、设E是?0,1?上有理点全体，则

?（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak;

n??n?1k?nn??n?1k?nE=______,E=______,E=______. 3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都

_________________________________，则称E是L可测的 4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切分划，使_____________________________________,则称f(x)为

'o2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） （A）P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P 3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A）若fn(x)?f(x), 则fn(x)?f(x) (B)

sup?fn(x)?是可测函数（C）inf?fn(x)?是可测函数;（D）若

n'??a,b?上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设E?R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。

2、若mE?0，则E一定是可数集.

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数 4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则

nfn(x)?f(x),则f(x)可测

5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数

（C）f'(x)在[a,b]上L可积 (D)

ba?f'(x)dx?f(b)?f(a)

?Ef(x)?0

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四、解答题（8分×2=16分）. 一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1．? 2、?0,1?； ? ； ?0,1? 3、

m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)

?x2,x为无理数1、（8分）设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R??1,x为有理数可积，是否L?可积，若可积，求出积分值。

?ln(x?n)2、（8分）求lim?e?xcosxdx

0nn五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c. 2、（6分）设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

3、（6分）在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设mE??,f(x)在E上可积，en?E(|f|?n)，则

?n?4、充要 5、??|f(xi)?f(xi?1)|?成一有界数集。

?i?1?三、1．错误2分例如：设E是?0,1?上有理点全体，则E和CE都在?0,1?中稠密5分

2．错误2分例如：设E是Cantor集，则mE?0，但E?c ， 故其为不可数集 5分 3．错误例如：设E是?a,b?上的不可测集，

??x,x?E;f(x)??

???x,x??a,b??E;limn?men?0.

n则|f(x)|是?a,b?上的可测函数，但f(x)不是?a,b?上的可测函数…

4．错误mE?0时，对E上任意的实函数f(x)都有?f(x)dx?0

E5、（10分）设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意??0，存在闭子集F??E，使f(x)在F?上连续，且m(E?F?)??，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理

四、1．f(x)在?0,1?上不是R?可积的，因为f(x)仅在x?1处连续，即不连续点为正测度集……..3分因为f(x)是有界可测

试卷一 （参考答案及评分标准）

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函数，f(x)在?0,1?上是L?可积的…6分 因为f(x)与x2a.e.相等，进一步，?分

2．解：设fn(x)?ln(x?n)?xecosx，则易知当n??时，n?0,1?11f(x)dx??x2dx?…8

03?EB,?B?c.…………………………6分

n??2．?x?E?,则存在E中的互异点列{xn},使limxn?x……….2分

xn?E,?f(xn)?a………………….3分

fn(x)?0 2分

f(x)在x点连续，?f(x)?limf(xn)?a

n???lnt?1?lnt又因???2?0，(t?3)，所以当n?3,x?0时，

t?t?ln(x?n)n?xln(x?n)n?xln3ln3???(1?x)……4分 3. nnx?nn33ln3从而使得|fn(x)|?(1?x)e?x………………………6分

3'?x?E………………5分

?E是闭集.………………………….6分

对??1，???0，使对任意互不相交的有限个

(ai,bi)?(a,b)

但是不等式右边的函数，在?0,???上是L可积的，故有

lim?fn(x)dx??limfn(x)dx?0…………………8分

n00n??当?(bi?ai)??时，有?f(b)i?f(ai)?1………………2分

i?1i?1nn五、1．设E?[0,1],A?E?Q,B?E\\(E?Q).

B是无限集，??可数子集M?B ………………2分 A是可数集，?A?MM. ……………………………….3

将[a,b]m等分，使?xi?xi?1??，对

i?1n?T:xi?1?z0?z1??zk?xi，有?f(zi)?f(zi?1)?1，所以

i?1k分

B?M?(B\\M),E?A?B?A?M?(B\\M),且(A?M)?(B\\M)??,M?(B\\M)??,f(x)在[xi?1,xi]上是有界变差函数……………….5分

………..5分

所以V(f)?1,从而V(f)?m，因此，f(x)是[a,b]上的有界

xi?1xiba（第3页，共15页）