我所认识的应力和应变

应力与应变是材料力学和弹塑性力学中非常重要的两个概念。材料力学中主要讨论杆件线弹性范围内的应力与应变，而弹塑性力学中则更加严谨和深化讨论了应力与应变。

材料力学中先介绍了内力的概念。物体因受外力作用而变形，其内部各部分之间因相对位置的改变而引起的相互作用的力就是内力。同时给出了研究内力的方法截面法。一般情况下，内力沿整个截面的分布不是均匀的，所以工程上不仅需要知道截面上总的内力大小，而且还需要知道内力在截面上各点的分布情况。为此，在截面上任一点M附近画出一块微小的面积ΔS。根据连续性假定，作用在微小面积ΔS上的内力是连续分布的，记ΔPn为其合力，则ΔPn在ΔS上的平均值ΔPn/ΔS就称为该微小面积上的平均应力。如果将ΔS缩小并趋近于零时，则ΔPn/ΔS表示数学上的极限概念，记为Pn?lim义为该界面（外法线方向为n）上该点的应力。

弹塑性力学中的研究对象为可变形固体，作用在可变形固体上的的外力有两种，分别是体力和面力。可变形固体在外力等因素的作用下，其内部各部分之间就要产生相互的作用。这种物体内的一部分与其相邻的另一部分之间的相互作用的力，称为内力。同样地我们一般采用截面法来研究作用在某个截面上的内力情况。弹塑性力学对应力的规定与材料力学基本一致。

应力表示内力在截面上某一点的分布集度。它是一个矢量，不仅有大小和方向，而且和点的位置以及通过该点截面的方向有关。应力的国际单位为N/㎡,简写为Pa。把应力矢量Pn沿着微分面的法线方向和切线方向分解，则沿法线方向的应力分量σn称为正应力，沿切线方向的应力?n称为剪应力。

提到应力，应该指明它是对物体内的哪一点，哪一个微分面。物体内同一点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。分析一点的应力状态对研究结构的强度问题十分重要。为了弄清一点的应力状态，必须弄清过该点的各个截面上的应力情况。弹塑性力学中更细化的从空间（过物体内一点M取平行于坐标面的3个两两垂直的微元平面）研究一点处的应力状态，并且使这三个微分面的外法

?Pn。极限Pn就定?s?o?S线方向分别与三个坐标轴的正方向一致。再把这三个微分面上的应力矢量Px，Py，Pz沿着三个坐标轴方向分解得到9个应力分量。将这9个应力分量作为一个整体组成了所谓的二阶张量，称之为应力张量。而其中的每一个量，就称为应力张量的分量。记应力??x?张量为σij，并表示为?ij???yx???zx?xy?y?zy?xz???yz?。 ?z??通过数学证明可知，应力张量σij描述了一点的应力状态，即只要知道了一点的应力张量σij，就可以完全确定通过该点的各个微分面上的应力。根据力矩平衡条件可以推出剪应力互等定理，可表示为?xy??yx，?yz??zy，?zx??xz。由此可见，应力张量是一个对称张量，在它的9个应力分量中，独立的分量只有6个。应力张量是一个二阶张量，因此，在数学上，应力张量的各个分量在坐标变换时应服从二阶张量的坐标变换规律。内部微元体的平衡应遵循平痕微分方程，也称为Navier方程。物体表面任意一点的平衡应符合静力边界条件。 物体在外力作用或者温度变化得情况下，各点的位置要发生变化，即发生位移。如果物体各点发生位移后，任保持各点间的相对初始距离，那么物体实际上只产生了刚体移动和转动，并称这种位移为刚体位移。如果物体各点发生位移后，改变了各点间的初始相对距离，则物体除了发生刚体位移外，同时还发生了形状的变化，统称为物体产生了变形。变形描述了物体各组成部分之间的相对位置的变化，以及物体形状和尺寸的变化。 同样假想把物体分为无数个微分六面体，是它们的六个面分别于三个坐标面平行。暂不考虑每一个微分平行六面体变形后的刚体转动部分，则它的变形可归结为两种：?棱边的伸长和缩短 ?棱边间夹角的变化。定义每一条棱边的相对伸长量或缩短量为正应变，两条棱边之间的夹角变化为剪应变，并分别用?x，?y，?z表示棱边MA,MB,MC的相对伸长量或缩短量—正应变，用?xy，?yz，?zx表示MA与MB之间，MB与MC之间以及MC与MA之间的夹角变化—?M'A'?MAlim??A'M'B',这点与lim—剪应变。例如?x?MA，?xy?MA?02?0MAMB?0材料力学中对应变的描述也基本一致。 与应力相对应地我们引入了应变张量，在直角坐标系中用一点的三个正应变和三个剪应变来表示某点的应变分量，如同前面的应力分量相似写法，其中一点???x??1??2yx?1??zx的应变分量的数学写法，记为?ij = ?21?xy2?y1?zy21??xz?2?1?yz??2??z??，工程上我们记为

??x???yz??zx?ij = ??xy?y?zy?xz???yz??z??，与二阶张量的坐标变化规律类似，如果如果坐标系仅作平移变换，则同一点的各个应变张量是不会发生变化的，只有坐标系做旋转变换时同一点的各个应变张量才会改变，并且满足二阶张量的转轴公式，同样也是一个二阶对称张量。 弹塑性力学中根据连续性假设，物体变形后仍保持其连续性，在数学上，要求位移函数是空间坐标的单值连续函数，否则变形后就会出现裂缝或者重叠。对6个独立的应变分量任意给定6个函数时，就有可能出现这种变形不协调的现象，因此各应变分量之间必须满足一定的关系。由此引出柯西方程，圣维男方程和一个边界条件。 应变协调方程表示要使以位移分量为未知函数的6个几何方程不相矛盾，则6个应变分量必须满足应变协调方程。对于单连通物体，应变分量满足圣维南方程是物体连续的充要条件；对于多连通物体应变分量满足圣维南方程是物体连续 u??u?。的必要条件。位移的单值性条件：变形前和变形后的相容性即位移相同， 对于多连通域位移的单值性，边界上各点位移满足的条件为位移的边界条件，物体的某些边界上，有约束存在，则位移在边界的取值应等于边界上已知的位移，即u??u?，v??v?，w??w?。位移边界条件反应了边界上的几何约束或边界上的变形协调，即不允许在物体边界上发生位移不连续的情况。 材料的应力应变关系体现了材料的固有力学性能。不同的材料会有完全不同的应力应变关系。完整的应力应变曲线往往无法用一个简单的数学方程来表达。如果仅限于小应变范围内，许多材料的应力应变关系可以用简单的线性弹性关系