∴当x?14时，y3min?2，

此时E在BC的八等分点（靠近C）处且DF?34（百米），符合题意； ．．．．14分 ∴由①②可知，当x?134（百米）时，路EF最短为2（百米） ． ．．．．15分

19．(本题满分16分) 解：（1）∵

An?1An1?A?1n?1?n?2，∴数列?n?n??是首项为1，公差为2的等差数列， ∴An111nn?A?1)?2?2n?2，即A(n?1)1?(nn?2(n?N*)，

∴a(n?1)(n?2)n(n?1)n?1?An?1?An?2?2?n?1(n?N*)，

又a，∴a?N*1?1n?n(n)． ．．．．．．．．．．．．．3分 ∵bn?2?2bn?1?bn?0，∴ 数列{bn}是等差数列，

设{b9(b3?b7)n}的前n项和为Bn，∵B9?2?63且b3?5，

∴b?9，∴{b}的公差为b7?b37?3=9?57n7?3?1，bn?n?2(n?N*)． ．．．．．．5分

（2）由（1）知cban?2n?na?n??n?2?2(1?1)， nbnnn?2nn?2∴T11n?c1?c2???cn?2n?2(1?3?2?14???1n?1n?2) ?2n?2(?112?1n?1?1n?2?)2n?3?2(11n?1?n?2)，

∴T11n?2n?3?2(n?1?n?2)． ．．．．．．．．．．．．7分

设R111n?3?2(n?1?n?2)，则Rn?1?Rn?2(n?1?1n?3)?4(n?1)(n?3)?0， ∴数列{Rn}为递增数列， ．．．．．．．．．．．．．9分

∴(R4n)min?R1?3，

∵对任意正整数n，都有T恒成立，∴a≤4n?2n≥a3． ．．．．．．．．．．10分

（3）数列?an(n?1)n(n?5)n?的前n项和An?2，数列?bn?的前n项和Bn?2．

①当n?2k(k?N*)时，S?Bk(k?1)k(k?5)n?Akk?2?2?k2?3k；

②当n?4k?1(k?N*)时，S(2k?1)(2k?2)2k(2k?5)n?A2k+1?B2k?2?2

?4k2?8k?1，

特别地，当n?1时，S1?1也符合上式；

③当n?4k?1(k?N*)时，S(2k?1)2k2k(2k?5)n?A2k?1?B2k?2?2?4k2?4k．

9

?123?4n?2n, n?2k ?2?n?6n?3, n?4k?3，k?N*． ．．．．．．．．．．．16分 综上：Sn??4??n2?6n?5, n?4k?1?4?20．(本题满分16分)

解：（1）∵函数f(x)?ax3?3x2?1，

∴f'(x)?3ax2?6x?3x(ax?2)． ．．．．．．．．．．1分 令f'(x)?0,得x1?0或x2?x f'(x) f(x) 2，∵a?0，∴x1?x2，列表如下： a222(??,0) 0 (0,) (,??) aaa? ↗ ? ? 0 ↘ 极大值 极小值 ↗ 28124∴f(x)的极大值为f(0)?1，极小值为f()?2?2?1?1?2．．．．．．．．3分

aaaa

32（2）g(x)?xf?(x)?3ax?6x，∵存在x?[1,2]使h(x)?f(x)，

∴f(x)≥g(x)在x?[1,2]上有解，即ax3?3x2?1≥3ax3?6x2在x?[1,2]上有解，

0 13?在x?[1,2]上有解， ．．．．．．．．．．．．．4分 3xx2133x?1?3x2?3(x?[1,2])，∵y'??0对x?[1,2]恒成立， 设y?3??xxx3x41313∴y?3?在x?[1,2]上单调递减，∴当x?1时，y?3?的最大值为4，

xxxx∴2a≤4，即a≤2． ．．．．．．．．．7分

24（3）由（1）知，f(x)在(0,??)上的最小值为f()?1?2，

aa4①当1?2?0，即a?2时，f(x)?0在(0,??)上恒成立，

a∴h(x)?max{f(x),g(x)}在(0,??)上无零点． ．．．．．．．．．8分

4②当1?2?0，即a?2时，f(x)min?f(1)?0，又g(1)?0，

a∴h(x)?max{f(x),g(x)}在(0,??)上有一个零点． ．．．．．．．．．9分

4③当1?2?0，即0?a?2时，设?(x)?f(x)?g(x)?ax3?3x2?1?lnx(0?x?1)，

a11∵?'(x)?3ax2?6x??6x(x?1)??0，∴?(x)在(0,1)上单调递减，

xx1a2e2?31?0，∴存在唯一的x0?(,1)，使得?(x0)?0． 又?(1)?a?2?0,?()?3?2eeeeⅠ．当0?x≤x0时，

∵?(x)?f(x)?g(x)≥?(x0)?0，∴h(x)?f(x)且h(x)为减函数，

又h(x0)?f(x0)?g(x0)?lnx0?ln1?0,f(0)?1?0，∴h(x)在(0,x0)上有一个零点； Ⅱ．当x?x0时，

∵?(x)?f(x)?g(x)??(x0)?0，∴h(x)?g(x)且h(x)为增函数， ∵g(1)?0，∴h(x)在(x0,??)上有一个零点；

即不等式2a≤

10

从而h(x)?max{f(x),g(x)}在(0,??)上有两个零点． ．．．．．．．．．15分 综上所述，当0?a?2时，h(x)有两个零点；当a?2时，h(x)有一个零点；当a?2时，h(x)有无零点． ．．．．．．．．．．16分

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．(几何证明选讲，本小题满分10分)

证明：连接AD，∵AB为圆的直径，∴AD?BD，

又EF?AB，则A,D,E,F四点共圆，

∴BD?BE?BA?BF． ．．．．．．．．．．．．．5分 又?ABC∽?AEF， ∴

ABAC，即AB?AF?AE?AC， ?AEAF∴BE?BD?AE?AC?BA?BF?AB?AF?AB?(BF?AF)?AB2． ．．．．．10分 B．(矩阵与变换，本小题满分10分)

?ab??ab??1??1??ab???1??0?解:（1）设M??，由?8??cd??1??1?及?cd??3???8?，cd????? ??????????a?b?8?a?6?c?d?8?b?2?62???得?，解得?，∴M??．．．．．．．．．．．．．．．．．4??44? ??a?3b?0?c?4????c?3d?8?d?4分

（2）设原曲线上任一点P(x,y)在M作用下对应点P'(x',y')，

2x'?y'?x???x'??62??x??x'?6x?2y?8则????，即，解之得， ????y?44y'y'?4x?4y????????y??2x'?3y'?8?代入x?3y?2?0得x'?2y'?4?0，

即曲线x?3y?2?0在M的作用下的新曲线方程为x?2y?4?0． ．．．．．．10分 C．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)

?x?rcos??2解：（1）由C:?得(x?2)2?(y?2)2?r2，

?y?rsin??2∴曲线C是以(2,2)为圆心，r为半径的圆，

∴圆心的极坐标为(22,)． ．．．．．．．．．．．．．5分

?4（2）由l:2?sin(??π)?1?0得l:x?y?1?0，

4|2?2?1|5?2， 225∵圆C与直线l有公共点，∴d≤r，即r≥2． ．．．．．．．．．．10分

2D．(不等式选讲，本小题满分10分)

a2b2c2d2???) 证明：∵[(1?a)?(1?b)?(1?c)?(1?d)](1?a1?b1?c1?d从而圆心(2,2)到直线l的距离为d?

11

≥(1?a?abcd?1?b??1?c??1?d?)2 1?a1?b1?c1?d?(a?b?c?d)2?1， ．．．．．．．．．．．．5分

又(1?a)?(1?b)?(1?c)?(1?d)?5，

a2b2c2d21???≥． ．．．．．．．．．．．．10分 ∴

1?a1?b1?c1?d522．(本题满分10分)

解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．

112P(X?0)?(1?)C0(1?a)?(1?a)2； 22211112P(X?1)?C0(1?a2)； 2(1?a)?(1?)C2a(1?a)?22211221P(X?2)?C1(2a?a2)； 2a(1?a)?(1?)C2a?2221122P(X?3)?C2a． 2a?22 从而X的分布列为 0 3 X 1 2 111a2(2a?a2)(1?a2)2(1?a) 2 P 222 X的数学期望为 111a24a?1222E(X)?0?(1?a)?1?(1?a)?2?(2a?a)?3??． ．．．．．．5分

222221（2）P(X?1)?P(X?0)?[(1?a2)?(1?a)2]?a(1?a)，

211?2a， P(X?1)?P(X?2)?[(1?a2)?(2a?a2)]?22211?2aP(X?1)?P(X?3)?[(1?a2)?a2]?．

22??a(1?a)≥0?11?1?2a≥0和0?a?1，得0?a≤,即a的取值范围是(0,]． ．．．．10分 由?22?2?1?2a2≥0??223．(本题满分10分)

解：（1）∵SA?底面ABCD，?DAB?90?，∴AB、AD、AS两两垂直．

以A为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）， ．．．．．．．．．．．．．．．1分

12

分

C(a,a,0)S(0,0,a)D(0,3a,0)则，，(a?0)，

∵SA?AB?a且SA?AB，∴设E(x,0,a?x)其中0≤x≤a， ????????∴DE?(x,?3a,a?x)，SC?(a,a,?a)， ．．．．．．．．．．．．．．．．2

????????假设DE和SC垂直，则DE?SC?0，

即ax?3a2?a2?ax?2ax?4a2?0，解得x?2a，

这与0≤x≤a矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直． ．．．．．．．．4分

21（2）∵E为线段BS的三等分点（靠近B），∴E(a,0,a)．

33??????设平面SCD的一个法向量是n1?(x1,y1,z1)，平面CDE的一个法向量是n2?(x2,y2,z2)，

?????????????????n1?CD?0∵CD?(?a,2a,0)，SD?(0,3a,?a)，∴???， ???????n1?SD?0?????ax1?2ay1?0?x1?2y1即?，即?，取n1?(2,1,3)， ．．．．．．．．．．．．6分

3ay?az?0z?3y11?1?1????????????????2n?CD?0?21∵CD?(?a,2a,0)，DE?(a,?3a,a)，∴???， ?????33??n2?DE?0??ax2?2ay2?0????x2?2y2?即?2，即，取n,5)， ．．．．．．．．．．．．8分 1?2?(2,1z?5yax?3ay?az?02?2222?3?3设二面角S?CD?E的平面角大小为?，由图可知?为锐角， ????????????n?n24?1?152105??1????∴cos??|cos?n1,n2?|??， ?21|n1|?|n2|14?30即二面角S-CD-E的余弦值为2105． ．．．．．．．．．．．．10分 21

13