江苏省苏州市2017届高三期中试卷 下载本文

∴当x?14时,y3min?2,

此时E在BC的八等分点(靠近C)处且DF?34(百米),符合题意; ....14分 ∴由①②可知,当x?134(百米)时,路EF最短为2(百米) . ....15分

19.(本题满分16分) 解:(1)∵

An?1An1?A?1n?1?n?2,∴数列?n?n??是首项为1,公差为2的等差数列, ∴An111nn?A?1)?2?2n?2,即A(n?1)1?(nn?2(n?N*),

∴a(n?1)(n?2)n(n?1)n?1?An?1?An?2?2?n?1(n?N*),

又a,∴a?N*1?1n?n(n). .............3分 ∵bn?2?2bn?1?bn?0,∴ 数列{bn}是等差数列,

设{b9(b3?b7)n}的前n项和为Bn,∵B9?2?63且b3?5,

∴b?9,∴{b}的公差为b7?b37?3=9?57n7?3?1,bn?n?2(n?N*). ......5分

(2)由(1)知cban?2n?na?n??n?2?2(1?1), nbnnn?2nn?2∴T11n?c1?c2???cn?2n?2(1?3?2?14???1n?1n?2) ?2n?2(?112?1n?1?1n?2?)2n?3?2(11n?1?n?2),

∴T11n?2n?3?2(n?1?n?2). ............7分

设R111n?3?2(n?1?n?2),则Rn?1?Rn?2(n?1?1n?3)?4(n?1)(n?3)?0, ∴数列{Rn}为递增数列, .............9分

∴(R4n)min?R1?3,

∵对任意正整数n,都有T恒成立,∴a≤4n?2n≥a3. ..........10分

(3)数列?an(n?1)n(n?5)n?的前n项和An?2,数列?bn?的前n项和Bn?2.

①当n?2k(k?N*)时,S?Bk(k?1)k(k?5)n?Akk?2?2?k2?3k;

②当n?4k?1(k?N*)时,S(2k?1)(2k?2)2k(2k?5)n?A2k+1?B2k?2?2

?4k2?8k?1,

特别地,当n?1时,S1?1也符合上式;

③当n?4k?1(k?N*)时,S(2k?1)2k2k(2k?5)n?A2k?1?B2k?2?2?4k2?4k.

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?123?4n?2n, n?2k ?2?n?6n?3, n?4k?3,k?N*. ...........16分 综上:Sn??4??n2?6n?5, n?4k?1?4?20.(本题满分16分)

解:(1)∵函数f(x)?ax3?3x2?1,

∴f'(x)?3ax2?6x?3x(ax?2). ..........1分 令f'(x)?0,得x1?0或x2?x f'(x) f(x) 2,∵a?0,∴x1?x2,列表如下: a222(??,0) 0 (0,) (,??) aaa? ↗ ? ? 0 ↘ 极大值 极小值 ↗ 28124∴f(x)的极大值为f(0)?1,极小值为f()?2?2?1?1?2........3分

aaaa

32(2)g(x)?xf?(x)?3ax?6x,∵存在x?[1,2]使h(x)?f(x),

∴f(x)≥g(x)在x?[1,2]上有解,即ax3?3x2?1≥3ax3?6x2在x?[1,2]上有解,

0 13?在x?[1,2]上有解, .............4分 3xx2133x?1?3x2?3(x?[1,2]),∵y'??0对x?[1,2]恒成立, 设y?3??xxx3x41313∴y?3?在x?[1,2]上单调递减,∴当x?1时,y?3?的最大值为4,

xxxx∴2a≤4,即a≤2. .........7分

24(3)由(1)知,f(x)在(0,??)上的最小值为f()?1?2,

aa4①当1?2?0,即a?2时,f(x)?0在(0,??)上恒成立,

a∴h(x)?max{f(x),g(x)}在(0,??)上无零点. .........8分

4②当1?2?0,即a?2时,f(x)min?f(1)?0,又g(1)?0,

a∴h(x)?max{f(x),g(x)}在(0,??)上有一个零点. .........9分

4③当1?2?0,即0?a?2时,设?(x)?f(x)?g(x)?ax3?3x2?1?lnx(0?x?1),

a11∵?'(x)?3ax2?6x??6x(x?1)??0,∴?(x)在(0,1)上单调递减,

xx1a2e2?31?0,∴存在唯一的x0?(,1),使得?(x0)?0. 又?(1)?a?2?0,?()?3?2eeeeⅠ.当0?x≤x0时,

∵?(x)?f(x)?g(x)≥?(x0)?0,∴h(x)?f(x)且h(x)为减函数,

又h(x0)?f(x0)?g(x0)?lnx0?ln1?0,f(0)?1?0,∴h(x)在(0,x0)上有一个零点; Ⅱ.当x?x0时,

∵?(x)?f(x)?g(x)??(x0)?0,∴h(x)?g(x)且h(x)为增函数, ∵g(1)?0,∴h(x)在(x0,??)上有一个零点;

即不等式2a≤

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从而h(x)?max{f(x),g(x)}在(0,??)上有两个零点. .........15分 综上所述,当0?a?2时,h(x)有两个零点;当a?2时,h(x)有一个零点;当a?2时,h(x)有无零点. ..........16分

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若...................多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(几何证明选讲,本小题满分10分)

证明:连接AD,∵AB为圆的直径,∴AD?BD,

又EF?AB,则A,D,E,F四点共圆,

∴BD?BE?BA?BF. .............5分 又?ABC∽?AEF, ∴

ABAC,即AB?AF?AE?AC, ?AEAF∴BE?BD?AE?AC?BA?BF?AB?AF?AB?(BF?AF)?AB2. .....10分 B.(矩阵与变换,本小题满分10分)

?ab??ab??1??1??ab???1??0?解:(1)设M??,由?8??cd??1??1?及?cd??3???8?,cd????? ??????????a?b?8?a?6?c?d?8?b?2?62???得?,解得?,∴M??.................4??44? ??a?3b?0?c?4????c?3d?8?d?4分

(2)设原曲线上任一点P(x,y)在M作用下对应点P'(x',y'),

2x'?y'?x???x'??62??x??x'?6x?2y?8则????,即,解之得, ????y?44y'y'?4x?4y????????y??2x'?3y'?8?代入x?3y?2?0得x'?2y'?4?0,

即曲线x?3y?2?0在M的作用下的新曲线方程为x?2y?4?0. ......10分 C.(极坐标与参数方程,本小题满分10分)

?x?rcos??2解:(1)由C:?得(x?2)2?(y?2)2?r2,

?y?rsin??2∴曲线C是以(2,2)为圆心,r为半径的圆,

∴圆心的极坐标为(22,). .............5分

?4(2)由l:2?sin(??π)?1?0得l:x?y?1?0,

4|2?2?1|5?2, 225∵圆C与直线l有公共点,∴d≤r,即r≥2. ..........10分

2D.(不等式选讲,本小题满分10分)

a2b2c2d2???) 证明:∵[(1?a)?(1?b)?(1?c)?(1?d)](1?a1?b1?c1?d从而圆心(2,2)到直线l的距离为d?

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≥(1?a?abcd?1?b??1?c??1?d?)2 1?a1?b1?c1?d?(a?b?c?d)2?1, ............5分

又(1?a)?(1?b)?(1?c)?(1?d)?5,

a2b2c2d21???≥. ............10分 ∴

1?a1?b1?c1?d522.(本题满分10分)

解:(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.

112P(X?0)?(1?)C0(1?a)?(1?a)2; 22211112P(X?1)?C0(1?a2); 2(1?a)?(1?)C2a(1?a)?22211221P(X?2)?C1(2a?a2); 2a(1?a)?(1?)C2a?2221122P(X?3)?C2a. 2a?22 从而X的分布列为 0 3 X 1 2 111a2(2a?a2)(1?a2)2(1?a) 2 P 222 X的数学期望为 111a24a?1222E(X)?0?(1?a)?1?(1?a)?2?(2a?a)?3??. ......5分

222221(2)P(X?1)?P(X?0)?[(1?a2)?(1?a)2]?a(1?a),

211?2a, P(X?1)?P(X?2)?[(1?a2)?(2a?a2)]?22211?2aP(X?1)?P(X?3)?[(1?a2)?a2]?.

22??a(1?a)≥0?11?1?2a≥0和0?a?1,得0?a≤,即a的取值范围是(0,]. ....10分 由?22?2?1?2a2≥0??223.(本题满分10分)

解:(1)∵SA?底面ABCD,?DAB?90?,∴AB、AD、AS两两垂直.

以A为原点,AB、AD、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图), ...............1分

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C(a,a,0)S(0,0,a)D(0,3a,0)则,,(a?0),

∵SA?AB?a且SA?AB,∴设E(x,0,a?x)其中0≤x≤a, ????????∴DE?(x,?3a,a?x),SC?(a,a,?a), ................2

????????假设DE和SC垂直,则DE?SC?0,

即ax?3a2?a2?ax?2ax?4a2?0,解得x?2a,

这与0≤x≤a矛盾,假设不成立,所以DE和SC不可能垂直. ........4分

21(2)∵E为线段BS的三等分点(靠近B),∴E(a,0,a).

33??????设平面SCD的一个法向量是n1?(x1,y1,z1),平面CDE的一个法向量是n2?(x2,y2,z2),

?????????????????n1?CD?0∵CD?(?a,2a,0),SD?(0,3a,?a),∴???, ???????n1?SD?0?????ax1?2ay1?0?x1?2y1即?,即?,取n1?(2,1,3), ............6分

3ay?az?0z?3y11?1?1????????????????2n?CD?0?21∵CD?(?a,2a,0),DE?(a,?3a,a),∴???, ?????33??n2?DE?0??ax2?2ay2?0????x2?2y2?即?2,即,取n,5), ............8分 1?2?(2,1z?5yax?3ay?az?02?2222?3?3设二面角S?CD?E的平面角大小为?,由图可知?为锐角, ????????????n?n24?1?152105??1????∴cos??|cos?n1,n2?|??, ?21|n1|?|n2|14?30即二面角S-CD-E的余弦值为2105. ............10分 21

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